3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ），其主应变
为 ε1 = 1.7 ×10−4 ， ε 2 = 0.4 ×10−4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。 3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。
2—9 已知一点的应力张量为：
50 50 80
σ ij
=
0 − 75MPa
(对称)
− 30
试求外法线
n
的方向余弦为： nx
=
1 2
，ny
=
1 2
， nz
=
1 2
的微斜面上的全应力 Pα
，正
应力 σ α 和剪应力τ α 。
2—10 已知物体的应力张量为：
50 30 − 80
σ ij
=
0 − 30MPa
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：
εz
=
γz E
,
εx
=εy
=
− νγz E
;
γ xy = γ yz = γ zx = 0;
试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
2
3
各弹性常数的物理意义。
3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据
单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来
证明泊松比ν 的上下限为： 0 <ν < 1 。 2
γ zy = θ x, γ zx = −θ y 。试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量 u、v、w。设
在原点处 u0 = v0 = w0 = 0, dz 在 xoz 和 yoz 平面内没有转动，dx 在 xoy 平面内没有转动。
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + 2 G 的关系，并验证是否与 3
K = E 符合。 3(1 − 2v)
3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3，橡皮的弹性常数 E2 =5MPa，v2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量）。
3 — 12
已知畸变能
U od
=
1 2 Sij eij
，求证
U od
=
1σ 2
ε
。
3—13* 已知截面为 A，体积为 V 的等直杆，
受到轴向力的拉伸，试求此杆的总应变能 U 及体变
cxy cy 2
0 0
0
0 0
axy 2
(2)
ε ij
=
0
1 2
(ax 2
+
by 2 )
0 ax 2 y 1 (az 2 + by 2 ) 2
1
2 1
2
(ax 2 (az 2
+ +
by
2
)
by 2 )
0
c(x 2 + y 2 ) (3) ε ij = cxyz
cxyz cy 2 x
0 0
(对称)
110
试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力 Pα ，正应力 σ α 和剪应力τ α 。 2—11 试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，
并证明当坐标变换时它们是不变量。
2—12 试写出下列情况的应力边界条件。
2—13 态。
题 2—12 图
设题 2—13 图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端 C 处于零应力状
(1) u = (3x 2 + 20) ×10−2 , v = (4 yx) ×10−2 ，在（0，2）点处。
(2) u = (6x 2 + 15) ×10−2 , v = (8zy) ×10−2 , w = (3z 2 − 2xy) × 10−2 ，在（1，3，4）点处。
2—30 试证在平面问题中下式成立：
0MPa ，试求该点的最大主应力及
0 0 0
其主方向。
2—18* 在物体中某一点 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ，试以τ yz 和τ zx 表示主应力。 2—19 已知应力分量为 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0, τ yz = a, τ zx = b, 计算主应力 σ1 、σ 2 、σ 3 ，
一点处的周向应力。
题 3—9 图
题 3—10 图
3—11 将橡皮方块放入相同容积的铁盒内，上
面盖以铁盖并承受均匀压力 p，如题 3—11 图示，设
铁盒与铁盖为刚体，橡皮与铁之间不计摩擦，试求
铁盒内侧面所受到橡皮块的压力 q，以及像皮块的体 积应变。若将橡皮块换块刚体或不可压缩体时，其
体积应变又各为多少？
ε x + ε y = ε ′x + ε ′y
2—31 已知应变张量
− 6 − 2 0 ε ij = − 2 − 4 0 ×10 −3
0 0 0
试求：（1）应变不变量；（2）主应变；（3）主应变方向；（4）八面体剪应变。
2—32 试说明下列应变状态是否可能存在：（式中 a、b、c 为常数）
c(x 2 + y 2 ) (1) ε ij = cxy
3—1 试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。
(1)
γ
8
=
1 G
τ8;
(2) σ = kε （设ν = 0.5 ）
3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系，由应变能公式证明 G、E、ν 之
间的关系为：
G
=
1 2(1 +
ν
)
3—3* 证明：如泊松比ν = 1 ，则 G = 1 E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述
2—7* 试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量 E、剪切弹性模
量 G、泊松比 v 之间的关系：
题 2—5 图
题 2—6 图
G= E 2(1 + v)
2—8 用材料力学方法试求出如题 2—8 图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状 态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。
题 2—8 图
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。
2—16* 已知矩形截面高为 h，宽为 b 的梁受弯曲时的正
应力σ z
=
My J
=
12M bh 3
y ，试求当非纯弯时横截面上的剪应力公
式。（利用弹塑性力学平衡微分方程）
题 2—15 图
12 6 0
2—17
已知一点处的应力张量为： σ ij
=
6
10
设钢块不变形，试求：在压力 P = 6KN 的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应
变，铝的弹性常数 E=70Gpa，ν = 0.33。
3—10* 直径 D = 40mm 的铝圆柱体，无间隙地放入厚度为 δ = 2mm 的钢套中，圆柱受
轴向压力 P = 40KN。若铝的弹性常数 E1 = 70GPa，ν1 = 0.35，钢的 E = 210GPa，试求筒内
P8 ，正应力 σ 8 ，剪应力τ 8 。 2—25 试求各主剪应力τ1 、τ 2 、τ 3 作用面上的正应力。 2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)
图中有虚线所示的剪应力τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
题 2—26 图
2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC 微截面与 x、y、z 轴等倾斜，但τ xy ≠ 0, τ yz ≠ 0, τ zx ≠ 0, 试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的τ 8 指向是否垂直棱边？
2—35* 已知物体中一点的应变分量为
10 4 − 2
ε ij
=
4
5
3
×
10
−4
− 2 3 − 1
试确定主应变及最大主应变的方向。 2—36* 某一应变状态的应变分量 γ xy 和 γ yz =0，试证明此条件能否表示 ε x 、ε y 、ε z 中
之一为主应变？ 2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：
并求 σ 2 的主方向。 2—20 证明下列等式：
(1)
J2
=I2Βιβλιοθήκη +1 3I12 ;
(3)
I2
=
−
1 2
(σ
iiσ
kk
− σ ikσ ik );
(5)
∂J 2 ∂Sij
= Sij ;
(2)
J3
=
I3
+
1 3
I1I 2
+
2 27
I13 ;
(4)
J2
=
1 2
Sij Sij ;
(6)
∂J 2 ∂σ ij
= Sij .
题 2—4 图
2—5* 如题 2—5 图，刚架 ABC 在拐角 B 点处受 P 力，已知刚架的 EJ，求 B、C 点的 转角和位移。（E 为弹性模量、J 为惯性矩）
2—6 悬挂的等直杆在自重 W 的作用下如题 2—6 图所示。材料比重为 γ ，弹性模量为 E，横截面积为 A。试求离固定端 z 处一点 c 的应变 ε z 与杆的总伸长 ∆l 。