图3N MF EBC ABAC EFM N P图2图1A图3D A图2图1几何综合题：与圆相关1．已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一圆心角为45°半径长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，直线CE 、CF 分别与直线AB 交于M 、N 。

（1）如图1，当AM =BN 时，将△ACM 沿CM 折叠，点A 落在EF 的中点P 处，再将△BCN 沿CN 折叠，点B 也恰好落在点P 处，此时，PM =AM ，PN =BN ，△PMN 的形状是 ，线段AM 、BN 、MN 之间的数量关系是 。

（2）如图2，当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 内部旋转时，线段AM 、MN 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。

（3）当扇形CEF 绕点C 旋转到图3的位置时，线段MN 、AM 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。

2．李明同学在学习正多边形和圆时，发现了以下一些有趣的结论：若P 是正多边形外接圆上一点，将P 与正多边形相邻三个顶点连结，这三条线段之间有一些特殊的数量关系。

（1）如图1，若P 是正△ABC 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PC ，则PB +PC 与PA 之间的数量关系是 ；（2）如图2，若P 是正方形ABCD 的外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PD ，则PB +PD 与PA 之间的数量关系是 ，试证明你的结论；（3）如图3，若点P 是正六边形ABCDEF 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PF ，则PB +PF 与PA 之间的数量关系是 。

3．小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请你根据题目要求帮小明完成探图3C 图2图1图3图1究。

（1）更换定理的题设和结论，可以得到许多真命题，如图1在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，则AE =BE ，请你证明此结论；（2）从圆上任一点出发的两条弦所组成折线，称为该圆的一条折弦，如图2中PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，C 为劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB ，证明此结论；（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论。

4．如图，平面直角坐标系中，M 是x 轴正半轴上一点，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，A 、M 两点的坐标分别为（－1，0）（1，0）。

（1）求C 点坐标；（2）如图2，∠OCM 的平分线交⊙M 于点E ，求直线BE 的解析式；（3）如图3，P 为弧AC 上一动点，Q 为弧PC 的中点，直线PB 、PQ 交于点F ，当点P 在弧上运动时（不含A 、C 点），BF 的长度是否改变，若不变，求出其值，若改变，求出变化范围。

5．已知AB 、CD 是⊙O 中两条互相垂直的直径。

图3DD图2图1（1）如图1，点F是弧BC的中点，连FO并延长交⊙O于E，连结FA、FD，求证：PE平分∠AFD；（2）如图2，点P是弧AD上任意一点（不含A、D）连PC，过A作AQ⊥CP于Q，连结OQ、AP，求∠OQC的度数；（3）如图3，点M是弧AC上一动点，连MA、MC、MB、BD，下面两个结论：①MA+MB+MC+MD为定值；②22MD MCMA MB-为定值；其中只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求出这个定值。

6．如图，已知在平面直角坐标系中，以第一象限点M为圆心作⊙M与x轴交于点A（3，0），交y轴于点C，且AC恰好平分∠MCO，直线MC交x轴于点B（－2，0）。

（1）求证：⊙M与x轴相切；（2）求直线BC的解析式；（3）若点P为x轴负半轴上一动点，连AP，以A为圆心，AP为半径作⊙A交CB 的延长线于E点，且∠APE=∠ACM，当点P在x轴上运动时，线段CP－CE的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求出变化范围。

7．如图，已知直线24y x=+与x轴交于点E，与y轴交于点A，点D是直线AE图1E图2图1在第一象限内的一点，以AD 为边，在第一象限内作正方形ABCD 。

（1）若AD =AE ，求B 点的坐标；（2）若点B 、D 恰好都在反比例函数ky x=上，求反比例函数解析式；（3）如图3，经过E 、C 、D 三点作⊙P ，过点C 作CQ ⊥AC ，交⊙P 于点Q ，当点D 在EA 的延长线上运动时，CQ 的长度是否改变？若不变，请求出其值，若改变，请求出其变化范围。

8．如图1，直线4y kx k =-（0k >）交x 轴于A ，交y 轴于B ，且∠OAB =45°。

（1）求k 的值；（2）直线4y mx =+分别交OA 、AB 于P 、Q 两点，交y 轴于S ，连AS ，若OBQP PAS S S ∆=四形，求m 的值；（3）如图2，以OA 为半径作⊙O 交x 轴负半轴于C ，D 为⊙O 上一点，连结BD 、AD ，AM 平分∠DAC 交BD 于M ，MN ⊥OA 于N ，下面两个结论：①OC MNBD+为定值；②BD MN OC-为定值；其中只有一个正确，请判断出正确的结论，并求出其值。

9．如图，在平面直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上的一点，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，若A （—1，0），C （0）。

图3图1图2图1图2（2）如图，P 为弧BC 上的一个动点，CQ 平分∠PCD ，当P 点运动时，线段AQ 的长度是否改变？若不变，请求出其值，若改变，请求出其变化范围。

（3）如图，以A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，P 为⊙A 上不同于C 、D 的动点，直线PC 交⊙M 于Q ，K 为PQ 的中点，连OK ，当P点运动时，下面两个结论：①CK PQ的值不变；②OK 的长度不变，其中有且只有一个结论正确，选择正确的结论证明并求其值。

10．如图，⊙O ′经过点O ，交x 轴于A ，交y 轴于B ，OP ⊥AB 交⊙O ′于P ，连BP 。

（1）求证：OB =PB ；（2）若BP =O ′的半径为5，求P 点的坐标；（3）点O ′在运动过程中，⊙O ′过点C （1，－1），M 、N 分别为弧OA 、弧OB 的中点，ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ，（OA >OB ），当点O ′运动时，ME -NF 的值是否改变？若不变，求出其值；若改变，求出其变化范围。

11．如图，N 在x 轴上，⊙O 交x 轴于A 、B ，交y 轴于C ，A （1x ，0）、B （2x ，0），且1x 、2x （12x x <）是方程26160x x --=的两根。

图3图1图2（2）如图2，连CB ，P 为y 轴上一动点，连PB 交⊙N 于E ，设BE =t ，当P 在y 轴上运动时，是否存在实数t ，使得∠ABP =2∠ABC ，若存在，求出实数t ，若不存在，说明理由；（3）如图3，设M 点的坐标为（1，m ）（0m >），过点M 、O 、B 三点作⊙O 1，过O 作OQ ⊥OM 于O ，交⊙O 1于点Q ，QG ⊥x 轴于点G ，当m 的值变化时，现给出两个结论：①OMOQ的值不变；②G 为定点，其中有且只有一个正确，请判断正确结论并证明结论正确，若比定求出比值，若点定，求出点的坐标。

12．已知，在平面直角坐标系中，一个直角边为4的等腰直角三角板ABC 的直角顶点B 放至点O 的位置，点A 、C 分别在x 轴的负半轴的y 轴的正半轴上。

（1）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°至△AKL 的位置，求直线AL 的解析式；（2）如图，过O 、C 两点作⊙O 1，⊙O 1交x 轴于点E ，交AC 的延长线于点F ，过圆心O 1作x 轴的垂线（垂足为H ）与AF 的延长线相交于点D ，求DF 的长。

13．如图1，直线AB 的解析式为2(0)y kx k k =-<与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，∠ABO =60°，经过A 、O 两点的⊙O 1与x 轴的负半轴交于点C ，与直线AB 切于点A 。

（1）求C 点的坐标；图2图3图1图2图3（2）如图2，过O 1作直线EF ∥y 轴，在直线EF 上是否存在一点D ，使得△DAB 的周长最短，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，连接OO 1与⊙O 1交于点G ，点P 为劣弧GF 上一个动点，连接GP 与EF 的延长线交于H 点，连接EP 与OG 交于I 点，当P 在劣弧GF 上运动时（不与G 、F 两点重合），O 1H －O 1I 的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围。

14．如图，在平面直角坐标系中，以O 的长为半径作⊙O 交x 轴于P 、Q 两点，交y 轴于G ，H 两点，△ABC 内接于⊙O ，且BC ∥x 轴交y 轴于D ，∠BAC =45°（如图1）。

（1）求C 点坐标；（2）若点A 在x 轴上方的半圆上运动（不与G 重合），且CA 的延长线交y 轴于M ，AB 交y 轴于N （如图2），当A 点运动时，ON ·OM 的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出其值；（3）若点A 在⊙O 上运动（不与B 、C 重合），是否存在点A ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，请求出A 点的坐标；若不存在，请说明理由。

15．如图，直角坐标系中，A 、B 、C 为x 轴、y 轴上三点，△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠ACB 的对边分别为a 、b 、c 。

若关于x 的一元二次方程：22()()0x ax c b c b -++-=的一根为a 。

x （1）判定△ABC 的形状；（2）CE 平分∠ACO ，点I 为△COB 的内心，求CI ︰CE 的值； （3）若CO =2AO ，过AB 的中点D 任意作半径为5的⊙P 交线段DB 及CD 的延长线于M 、N 点，下列结论：①DM +DN 为定值；②线段MN 的长为定值，仅有一个正确，请选择正确的结论证明并求出定值。