并与真解u(x) 2e xx 1相比较.微分方程数值方法 常微分方程初值问题习题一u' ax b, u(0) 0,分别写出Euler 法和改进的Euler 法的近似解 府 的表达式，并求 它们与真解u(x) -ax 2 bx 的差u(X m ) U m .2. 取步长h 0.1，分别用Euler 法和改进的Euler 法求下列初值问 题的解，并与真解相比较.真解 u(x) .1 2x ；2，u x . c(2) u2,1 x 2,x u u(1) 2,1真解 u(x) x(8 31 n x)3 ；u xu'広乔u(1) 1,31真解 u(x) (4x 2 3x 2)3.X 23. 用Euler 法计算0£dt 在x 0.1，0.2的近似值.4. 取步长h 0.2，用四阶Runge-Kutta 法解u' ux, 0 x 1, u(0)1,1.对初值问题(1)u' u2x0x1,u(0) u1,(3) 1 x 1.5,5. 设 f(x,u)关于 u 满足 Lipschitz 条件，证明 N 级 Runge-Kutta 法中的增量函数 (x,u,h)关于u 也满足Lipschitz 条件.6. 对初值问题u' u x 1, u(0) 1,写出四阶Taylor 级数法和四阶 Runge-Kutta 法的计算公式，它们 是否相同.7. 证明改进的Euler 法的绝对稳定区间是(-2，0). 8.证明：当h( h)满足34h h24时，四阶 Runge-Kutta 法绝对稳定.9. 用Tayor 展开确定下面多步法中的系数，使其阶尽可能高，并求 局部截断误差的主项.10. 对初值问题 u'' f(x,u), u(X °) u °,u'(x 0)u 10,确定求解公式(3) u m1a 2um 1 h(m 1 2).(1) u m 1a 1u m a 2u m 1 h 0 f m 1；2u m u m 1h 2( 0中的系数2与局部截断误差主项m 12 f m 1 )11. 求公式的阶和局部截断误差12. 取步长h 0.1，用四阶Adams 方法的的预测-校正公式（72）解 初值问题u' u X, 0 x 1, u(0) 1,并与真解u(x) 2e x X 1相比较.13. 讨论下列公式的相容性、稳定性、和绝对稳定性(1) U m 1 4U m 5U m 1 h(4 J 2f m 1)；1 3~(9u mu m 2)~h( fm 12 fm8814. 求，使线性多步法h U m 2 (1)U m 1U m 尹3) f m 1 (1) f m ]是相容的和稳定的15. 证明三阶Adams 内插公式的绝对稳定区间是（-6,0） 16. 证明中点公式（90）是A-稳定的.17. 求下列方程组的刚性比.若用四阶Adams 内插公式求解时，最大步长应小于多少？u' 2000u999.75v 1000.25, (1)v' u v, u(0) 0,v(0)2;Um 1U m4[f (X m ，U m )3f (X m3 h,U m2-hf(X m ,U m ))] 3(2) U m 1um 1U m 12(5f m 18f mu' 0.1u 49.9v,(2)V 50v,'150v 200 ,u(0) 2,v(0) 1, (0) 2.18. 把下列高阶方程化为一届方程组，并写出它们的Euler公式和四阶Runge-Kutta 公式.u'' 2xu' 4x, u(0) 0,u'(0)1; (2)u'' 2u'(刍1)u,x1 1u(1) e ,u'(1) e点差分格式（8）相同.4.证明三角形网格的差分方程（33）满足条件（36）椭圆型方程的差分法习题三1.用五点差分格式解下列椭圆型方程边值问题u 2,0 x, y 1,(1) u(0, y) 0, u(1, y) 1 y,u(x,0)2 2x ,u(x,1) x x,取h1 (真解 u x2 xyu 0, 0 x, y 3, (2)u(0,y) y 2,u(3, y) 9 y 2, u(x,0) x 2, u(x,3) x 2 9,取h 1 (真解 u x 2 y 2)(3) 3 3u 9sin(— x)sin(— y),0 x, y 12 2 u 0,取h-3u (x 2y 2)s in (xy), 0 x, y 1, (4)u(0,y) u(x,0) 0,u(1, y)sin y, u(x,1) sin x,取h（真解 u sin（x y））；(5)u 2(x‘ u(1,y) 'y 2),y 2,(- 0 x, y 1, u 、 u)3x 2u uy y 10,xx0 y y 02.证明公式（34）3.证明：对矩形网格，用积分守恒形式（导出的差分方程与五1 (真解 ux 2y 2)5.证明：若d j 0(i h )，则差分方程L h U i g i , i U i 0, i的解满足|g 』imax ,i j hd jj6.对椭圆型方程u [(P ) x xu(p )] y设 p(x, y) C 1( )，q(x,y), f (x,y)C( ),P (x,y) O,q(x,y) 0，证明:(1) 五点差分方程L h U j TT [ P 1 .(u i 1,jh i 2'jU j)P i^(Uj心的截断误差为O(h 22)；(2) 差分方程的系数满足条件(36)12[p 1 (u i,j 1 u ij )i,j2U i其中L h 由式(35) 定义.quP -2(Uij Ui-)] q j Ujij抛物型方程的差分法习题四1.（上机题）对下列定解问题2 u 4 u 2 20, tx0 x 4,t 0u(x,O) sin x(12 cos x),0x4 44 u(O,t) u(4,t)0,t取h 0.2,0.04,分别用古典显格式、古典隐格式和23.对于扩散方程计a ^，a0,的截断误差.（2）试求加权三层差分格式Cran k-Nicols on格式计算t 0.4 时的近似解，并与精确解u(x,t)t .e sin —x 2te 4 sin x 比较.42.（上机题） 对定解问题取 h 0.1,2丿22xUt U (X ,0) sin x x(1U(0,t)U(1,t) 0,0 x),1,t 0; x 1; 0,0.01,用双层加权平均格式，分别取1,算t 0.25时的近似值，并与精确解u(x,t)2tsin x x(11 2x)比较.11计(1)试求 Du Fort-Frankel格式k 1 k 1 U j U j2k Uj 1k 1 Ujk 1 U jh 2k Uj 1k '1k U j Uj(1)」Lk Ujk 1U ja 2 k 1 ,2 x Uj h(O( 2 h 4)).（3）试求双向加权对称格式的截断误差.题1中的定解问题（取习题1中相同的步长），并与习题1的计算 结果进行比较.(2)u m 1 u m h( 1 f m的截断误差，并证明当舟时'截断误差的阶最高k 1 k k 1 k 1 U j 1 U j 15 U j Uj12 61 12k 1 U j 1k Uj 1a 2 k 1 2k 、 齐 x Uj x U j )4. 试构造变系数抛物型方程u t的一个二阶精度差分格式—[(0.1 sin 2 x)-u] x x5. 证明习题3（2）、（ 3）中给出的两种差分格式均是绝对稳定的6. 证明求解习题3中的扩散方程的Saul 'v 格式（1957）k 1U jk 2U jkU j k 1U jar(u k 1 k 2ar(Uj 1k k 1 k 1、U j U j U j 1),k 2 k 1 k 1、7. 是绝对稳定的（a 对于二维扩散方程和 Crank-Nicolson 0,rk 1 Uij格式h 7).2(Ua( 2 - x k U ijar(k 1 kar /U ij Uij —（均绝对稳定（a 0,r —）h8.（上机题）分别用显隐交替的格式 k 1 Uij2弓），试证明向后差分格式 2 k 1 xU ij2 k 1、 yU ij)2 k xU ij2 k 1 yU ij2 k yU ij )1和格式2 （跳点格式）计算习。