2015届中原名校豫南九校一轮复习质量检测
高三数学试卷（文科）
考试时间：120分钟试卷满分：150分
注意事项：
1．请将各题答案填在试卷后面的答题卷上． 2．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知集合P ＝{x ｜2
x －x －2≤0}，Q ＝{x ｜2log (1)x －≤1}，则（C
R P ）∩Q 等于 A ．[2，3]B ．（－∞，－1]∪[3，＋∞） C ．（2，3]D ．（－∞，－1]∪（3，＋∞）
2．设复数1z ＝1－i ，2z ＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则1z ·2z 的虚部为 A ．－1B ．1C ．i －D ．i 3．已知sin （
4
－x ）＝35，那么sin2x 的值为
A ．325
B ．425
C ．625
D ．725
4．记数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝2（n a －1），则a 2等于 A ．2B ．4C ．6D ．8
5．“m ＞0”是“函数f （x ）＝m ＋2log x （x ≥1）不存在零点”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件
6．若双曲线22
221x y a b
－＝（a ＞0，b ＞03
A ．2
B ．±2
C ．±
1
2
D ．±22
7．已知12
log a ＞1，1()2
b ＞1，2c
3
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞a ＞b
8．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的
体积为
A 433
B 533
C ．3
D 8
33
9．如图所示的程序框图中输出的结果为 A ．2B ．－2 C ．
12D ．－12
10．已知函数f （x ）＝32
(1)2,x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩
,≥2,
－,0＜＜若关于x 的方程
f （x ）＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是
A ．（0，
1
2）B ．（0，1） C ．（12，1）D ．（12
，1]
11．O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足：OP uu u r ＝OA uu r ＋λ（AB uu u r
＋
AC uuu r ），λ∈[－1，2]，已知λ＝1时，｜AP uu u r ｜＝2．则PA uu r ·PB uu r ＋PA uu r ·PC uu u r 的最大
值为
A ．－2
B ．24
C ．48
D ．96
12．抛物线2
y ＝2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足
∠AFB ＝120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则AB
MN
的最
小值为 A
．
3B
．3
C ．1D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上． 13．设五个数值31，38，34，35，x 的平均数是34，则这组数据的方差是_______________．
14．已知实数x ，y 满足0
02x x ⎧⎪
⎨⎪⎩
≥y ≥＋y ≤，则z ＝4x ＋y 的最大值为______________．
15．表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为____________． 16．已知{n a }的通项为n a ＝3n －11，若
12
m m m
a a a ＋＋为数列{n a }中的项，则所有m 的取值集合为__________________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a b c ＋＝cos()
cos A C
＋C ． （1）求角C 的大小．
（2）若c ＝2，求使△ABC 面积最大时，a ，b 的值．
18．（本小题满分12分）
某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之问，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求续驶里程在[200，300]的车辆数；
（2）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[200，250）的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1上面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1
和AC上，B 1E＝3EC1，AC＝BC＝CC1＝4．
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．
20．（本小题满分12分）
设函数f（x）＝2x＋ax－lnx，a∈R．
（1）若a＝1，试求函数f（x）的单调区间；
（2）令g（x）＝
()
x
f x
e
，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为
2
2
2，0）． （1）求椭圆M 的方程；
（2）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中
点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点．求点O 到直线l 的距离的最小值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交于B ，C 两点，
且AB ＝
1
3
AC ，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交 BC 于点D ，己知圆E 的半径为2，∠EBC ＝30°． （1）求AF 的长； （2）求证：AD ＝3ED ． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为3sin x α
α
⎧⎪⎨⎪⎩＝cos y ＝（α为参数），以原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ＋4
π
） ＝2
（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 坐标． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝｜2x －1｜．
（1）若对任意a 、b 、c ∈R （a ≠c ），都有f （x ）≤a b b c
a c
－＋－－恒成立，求x 的取值范围；
（2）解不等式f （x ）≤3x ．。