第17卷第8期大　学　物　理V o l.17N o.8 1998年　8月COLL EGE　PH YS I CS A ug.1998关于洛伦兹变换的推导王笑君1) 关　洪2)(1)华南师范大学物理系,广州　510631;2)中山大学物理系,广州　510275)α 摘　要　介绍了从时空的一些普遍性质出发而推导洛伦兹变换的几种有代表性的方法,特别阐明了每种方法的推导依据(包括隐含的依据),并对这些依据所对应的物理意义进行了讨论.关键词　洛伦兹变换;推导分类号　O412.1 长期以来,在国内刊物发表的一些文章[1]上,以及笔者不时有机会看到的一些稿件上,每每声称发现了推导狭义相对论里洛伦兹变换的新的基本方法.但在实际上,这些文稿往往只是前人工作的重复,并且还常常采取了一些不必要的或多余的假设;此外,一些已出版的书籍里,也存在着类似的问题.所以,系统介绍一下这方面的情况,相信是会有益处的.我们所说的推导洛伦兹变换的基本方法,指的是从关于空间和时间的一些普遍性质出发而做的推导,不包括从例如电磁场方程的不变性那样的具体要求,或者从时间延长和长度收缩等“实验现象”(事实上不存在任何关于长度收缩的直接实验证据)出发所做的推导.下面按历史先后的顺序,简单地介绍几种有代表性的推导方法.1　E i n ste i n的光速不变原理众所周知,作为E in stein的狭义相对论基础的两条支柱,是他的“光速不变原理”和“相对性原理”.这两条原理可以简单地陈述如下:1)物理定律在一切惯性参照系中都采取同样的形式.2)在任何给定的惯性系中,光速c都是相同的,且与光源的运动无关.今设在一惯性系S里的空时坐标是x、y、z 和t,在另一个惯性系S′里相对应的空时坐标是x′,y′,z′和t′.S′相对于S的速度沿着x轴亦即x′轴的方向,其大小为v;而且当t=0时,两个参照系的原点相重合.那么,根据光速不变原理2),对于从原点出发的光的传播过程,在参照系S和S′里应当分别有:x2+y2+z2=c2t2(1)x′2+y′2+z′2=c2t′2(2)容易算出,满足条件(1)和(2)的坐标的齐次线性变换关系,必定采取以下形式:x′=<(v)x-v t1-(v c)2y′=<(v) yz′=<(v) zt′=<(v)t-(v c2)x1-(v c)2(3)这就是在E in stein的早期工作里得出的初步公式,其中含有一个未能确定的、仅含速度参数v的公共函数因子<(v)[2].这一因子的存在,反映了把任意参照系的空间和时间尺度乘上同一个系数,不会影响光的速度.从式(2)不难看出,如果采取光速c=1的自然单位,空间和时间的变换就呈α现出某种对称性.但是,如果限于讨论两个惯性系之间的变换,单凭这种对称性或者单凭光速不变的要求,无法确定函数因子<(v),因此亦得不出完整的洛伦兹变换公式.为了做出补救,E in stein再引进对于S′沿着x′方向以速度-v运动的第三个惯性系S″;并且认为,先后经过正反两次变换的参照系S″同原来的S应当是相对静止的,亦即回到了原来的参照系S[3].据此不难算出关系式<(v)<(-v)=<(0)(4)而且,因为对于恒等变换有<(0)=1,再加上对于横向(例如y轴方向)长度的测量结果不应当依赖于其运动方向的论证,可以断定<(v)=< (-v),最后便得到<(v)=1的结论.E in stein把这点也叫做相对性原理的要求.将这一结果代入式(3),就得出洛伦兹变换式:x′=x-v t1-(v c)2y′=y z′=zt=t-(v c2)x1-(v c)2(5)有了洛伦兹变换,就能推出沿x轴方向运动的质点的速度合成公式u′=u+v1+(uv c2)(6)式中u是质点在参照系S里的速度,u′是同一质点在S′里的速度.E in stein所补充的、由式(4)所表示的条件,等价于认为如果参照系S′相对于S的速度为v,则S相对于S′的速度为-v.不过,引入这一条件,表明了E in stein起初运用的方法是有“漏洞”的,而完善的理论方法应当自动地得出这个结果.在B ergm ann的《相对论引论》一书里进行了类似的推导[4],但是没有用E in stein的条件(4),而是引入亦被他称为相对性原理所要求的横向坐标不改变的条件:y′=yz′=z(7)从式(3)可以看出,这一条件亦相当于要求其中的函数因子<(v)=1,自然能够收到相同的效果[5].在以上的推导里,暗含了空时的均匀性和空间的各向同性,以下不再申明.2　变换的群的性质1910～1912年间,Ignatow sky以及F rank 和Ro the先后提出,不必从光速不变的条件出发,而仅从满足群的基本性质的要求,就可以导出洛伦兹变换.在Pau li的名著《相对论》一书里,有对这一方法的简单介绍[6].在这些早期工作里,亦用到E in stein的补充条件.但在严格的群论方法里,是不需要这一条件的.Stephen son 和K il m ister的《狭义相对论》一书,则给出了较详细的推导[7].他们都把这种方法称为洛伦兹变换的公理式导出.把对应着不同速度参数v值的每一个四维空时坐标的线性变换,看做是一个元素.那么,在存在单位元素(恒等变换),以及对于每一个元素存在着逆元素(逆变换)的情况下,只要所有这些元素满足群的乘法规则,它们就组成一个群.具体说来,设从参照系S到S′的空时坐标变换由速度参数为u的线性变换式描写,从参照系S′到S″的空时坐标变换由速度参数为v 的同一线性变换式描写;那么,群的乘法规则要求:从参照系S到S″的空时坐标变换,必定由对应于某一个速度参数w的、一个相同形式的线性变换式描写.从这些基本要求出发,就可以推导出式(5)所表示的坐标变换式(在文献[6]和[7]里,给出的都是简单的一维空间、一维时间的线性变换).而上述的三个变换的速度参数w和u、v 之间的关系,正好满足上面的速度合成公式(6).容易证明,所得的结果中所含有的常数c,具有在坐标变换下不改变的不变速度的意义.换句话说,从这种抽象的数学要求出发,就能知道自然界必定存在着一个不变速度.如果把这个不变速度c当做是无限大,就得到伽利略变换式;而把c证认为光速,则得到的是洛伦兹变91第8期 王笑君等:关于洛伦兹变换的推导换式.我们回过头来观察E in stein引进的补充条件式(4),不难看出它正体现了这里所讲的、洛伦兹变换的总体组成一个群的要求.3　正交变换群1907～1908年,M inkow sk i指出,洛伦兹变换可以看成四维空间中的赝转动,并且首次用四维空间中的张量形式来给出狭义相对论的描写.E in stein起初不以为然,以为那只是一些学究式的多余的话.后来,1912～1913年,E in stein 在探索建立广义相以论的工作中,亦不得不开始采用M inkow sk i的张量方法了.这种方法的核心是不变量的概念.如果定义三维空间和一维时间中的线元(平方)为d s2=d x2+d y2+d z2-c2d t2(8)并且要求对于任何物理过程,d s2都是坐标变换下的不变量,那么它自然包含了d s2=0的光速不变情况.所以,可以把这种d s2不变的基本要求,看做是光速不变原理的一种推广.一方面,观察第1节里的式(3),容易看出,在d s2不变的假设下,必定要求变换中的函数因子<(v)=1.这样就可以更自然的推导出洛伦兹变换式,而无需追加额外的条件.另一方面,下面将要说明,受到一定限制的这种保持d s2不变的变换的总体,实际上构成一个四维正交群.那么,这样做当然就可以再现第2节的结果了.具体说来,先定义四维坐标xΛ为(Λ=1,2, 3,4)x1=x,　x2=y,　x3=z,　x4=i ct(9)惯性系S到惯性系S′的坐标变换式为x′Λ=aΛΜxΜ(10)那么,只要而且只当满足要求(重复指标表示求和)x′Λx′Λ=xΜxΜ(11)就能保证式(8)定义的d s2的不变性.将式(10)及其反演式代入式(11),便得到变换系数aΛΜ满足的关系[3]aΛΚaΜΚ=aΚΛaΚΜ=∆ΛΜ(12)式(12)称为正交条件,满足此条件的变换称为正交变换.系数aΛΜ可以含有一个或者一些参数,具有适当取值范围的所有参数的正交变换组成一个群,即正交变换群.条件(12)表示的是空间尺度不改变的纯转动.例如,普通空间中的转动群就是一个实三维正交群N(3),而式(10)～(12)表示的则是一个(复)四维正交群O(4).由速度参数-∞<v<+∞的所有洛伦兹变换组成的群就是洛伦兹群L.洛伦兹群是一种赝四维正交群.为了保持变换前后的空时坐标x、y、z和t以及x′、y′、z′和t′的实性,洛伦兹群的变换系数aΛΜ当中,所有不含指标4的系数和a44必须是实的,而其余只含一个指标4的系数则必须是虚的.所以,实际上,洛伦兹变换表示的是在闵可夫斯基空间,即三维实空间和一维虚时间中的转动.例如,考虑x2和x3不变的转动.大家知道,对于角度Η的二维运动,可以写出:x′1=(co sΗ)x1+(sinΗ)x4=ax1+bx4a2+b2x′4=(co sΗ)x4-(sinΗ)x1=ax4-bx1a2+b2(13)现在,对于参照系S′的原点,即x′=0的点,在参照系S里必须有x=v t.再将x1=x,x4 =i ct的定义代入x′1=0的式(13),便得到a= 1,b=i v c(忽略一个公共的任意常数因子).最后将这两个系数值放回式(13),就可得出式(5)中含有的洛伦兹变换式.由于这里的转动参数虚实并存,所以叫做赝转动.由此可见,这种推导过程明显比方法2简单,又比方法1干净.当然,也可以一开始就从四维转动做起,先得出普遍的洛伦兹变换公式x′=x+vx vv211-(v c)2-1-t1-(v c)2 t′=t-(v x c2)1-(v c)2(14)(下转23页)02大　学　物　理 第17卷于圆环面方向的分量和垂直于圆环面方向的分量,大小基本不变,即此区域近似为均匀辐射电场,如图4.3)由计算结果图2、图3、图4可见,电场主要存在于区域:0.5R ≤x 2+y 2≤1.5R ,-R ≤z ≤R 中,在此区域之外,电场很弱.4)由以上结果可看出,借助计算机技术,对圆环形线电荷电场的具体分布情况,可给出详尽细致的结果,这可使物理现象明确,图像清晰.5　参考文献1　赵凯华,陈熙谋.电磁学.第2版.北京:高等教育出版社,1986.100～1182　梁灿彬,秦光戎,梁竹健,电磁学.北京:人民教育出版社,1980.120～1283　赖忠干,于若愚.圆电流内部的B 和5.见:《大学物理》编辑部编.电磁学专辑.北京:北京工业大学出版社,1988.131～134THE D ISTR IBUT I ON OF EL ECTR I C F IELD OF ANNULARL INEAR EL ECTR I C CHARGEZhang L ian shun J iang W an lu(D epartm ent of Physics ,D ezhou T eacher’s Co llege ,D ezhou ,Shandong ,253023,Ch ina ) Abstract T he equati on s of the electric field of annu lar linear electric charge are so lved by u sing com p u ter .Key words electric field strength ;linear electric charge ;p rinci p le of superpo siti on(上接20页)然后再写出简化的变换式(5)[8].我们感谢B ergm ann 教授在他访问广州期间所做的有益讨论.4　参考文献1　参看:物理,1974,3～1976,5关于这一问题的讨论.2　E instein A .A nn .Physik ,1905,17:891;中译文见:爱因斯坦文集 第一卷.范岱年,许良英译.北京:商务印书馆,1977.83～1153　E instein A.相对论的意义.李灏译.北京:科学出版社,19614　Bergm ann P G .相对论引论.周奇,郝苹译.北京:人民教育出版社,19615　Bergm ann P G .T he Special T heo ry of R elativity .In En 2cyclopedia of Physics,V o l.I V ,S .F1ügge ed .,Sp ringer,1962.109～202(在这篇文章里,他又回到了E 2instein 的相对性条件.可是,Bergm ann 本人并不认为这是一种满意的做法)6　Pauli W .T heo ry of R elativity .T ranslated by G .F ield .Pergamon p ress ,19587　Stephenson S ,K il m lster C W .狭义相对论.沈立铭译.上海:上海科学技术出版社,19638　Fock V A .空间,时间和引力的理论.周培源,朱家珍,蔡树棠译.北京:科学出版社,1965(其中特别强调了,E instein 的补充条件应当是推导出来的结论)ON THE D ER IVAT I ON OF LORENTZ TRANSFOR M AT I ONW ang X iao jun 1) Guan Hong2)(1)D epartm ent of Physics ,South Ch ina N o r m al U niversity ,Guangzhou ,510631,Ch ina ;2)D epartm ent of Physics ,Zhongshan U niversity ,Guangzhou ,510275,Ch ina ) Abstract Som e m ethods abou t the derivati on of L o ren tz tran sfo r m ati on are described ,the foundati on s of derivati on are dem on strated ,and the their m ean ings in physics in every m ethod are discu ssed .Key words L o ren tz tran sfo r m ati on ;derivati on32第8期 张连顺等:环形线电荷的电场分布。