第一章命题逻辑课外习题及解答练习一1、判断下列语句是否是命题，若是命题则请将其形式化：（1）a+b（2）x>0（3）“请进！”（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。
（5）我明天或后天去苏州。
（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。
（7）我明天或后天去北京或天津。
（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。
（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。
（13）不管你和他去不去，我去。
（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（韩非：《韩非子•显学》）（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
（荀况：《荀子•劝学》）解（1）a+b 不是命题（2）x>0 不是命题（x是变元）（3）“请进！”不是命题（4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。
是命题可表示为p∧┐q，其中p：所有的人都是要死的，q：所有的人都怕死（5）我明天或后天去苏州。
是命题可表示为p∨q，其中p：我明天去苏州；q：我后天去苏州（6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。
是命题可表示为┐(p∨q)，其中p、q同（5）（7）我明天或后天去北京或天津。
是命题可表示为p∨q∨r∨s，其中p：我明天去北京，q：我明天去天津，r：我后天去北京，s：我后天去天津（8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。
是命题可表示为┐p→┐q，其中，p：我买到飞机票，q：我出去（9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。
是命题可表示为(p∧q→r)∧(┐p∧q→r)或q→r，其中p：他余款多，q：他出门，r：他买书（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
是命题可表示为(p∨q) ↔ r，其中p：你陪伴我，q：你代我雇车，r：我去（11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。
是命题可表示为(p→q) ∧(q→p )或p ↔q，其中p：你充分考虑了一切论证，q：你得到了可靠见解（12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。
是命题可表示为(q→p ) →┐q，其中p：我懂得希腊文，q：我了解柏拉图（13）不管你和他去不去，我去。
是命题可表示为(p→r) ∧(q→r) ∧( ┐p→r) ∧( ┐q→r)或r，其中p：你去，q：他去，r：我去（14）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（韩非：《韩非子•显学》）是命题可表示为((p∧q)→r) ∧((┐p∧┐q)→┐r)，其中p：你奢侈，q：你懒惰，r：你贫困（15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
（荀况：《荀子•劝学》）是命题可表示为(p→┐q) ∧(s→r) ∧(m∧n→┐o) ∧(m∧┐n→v)，其中p：骐骥一跃，q：骐骥一跃十步，r：驽马行千里，s：驽马不断奔跑，m：你雕刻，n：你放弃，o：将朽木折断，v：金石可雕刻2、判定下列符号串是否为公式，若是，请给出它的真值表，并请注意这些真值表的特点（公式中省略了可以省略的括号）：（1）┐(p)（p为原子命题）（2）(p∨qr)→s（3）(p∨q)→p（4）p→(p∨q)（5）┐(p∨┐p)（6）p∧(p→q)→q（7）p∧(p→q)∧(p→┐q)（8）(p→q) ↔ (┐q→┐p)（9）┐(p∨q) ↔┐q∧┐p（10）┐p∨q↔ (p→q)（11）(p→q)∧(q→r)→(p→r)（12）(p∨q→r) ↔ (p→r)∧(q→r)解（1）┐(p) 不是公式（2）(p∨qr)→s 不是公式（4）p→(p∨q) 是公式（真值表见上表，恒真）（5（6（7（8（9（（（3、A国的人只有两种，一种永远说真话，一种永远说假话。
你来到A国，并在一个二叉路口不知如何走才能到达首都。
守卫路口的士兵只准你问一个问题，而且他只答“是”或“不是”。
你应该如何发问，才能从士兵处获知去首都的道路。
解设p：你是说真话的；q：我应当向右走去首都你应当问：p↔q ?当回答“是(真)”，你选择向右走；当回答“不（假）”时，你选择向左走。
因为p↔q真，当且仅当p真且q真（士兵说真话且应当向右走）或p假且q假（士兵说假话且应当向左走）p↔q假，当且仅当p真且q假（士兵说真话且应当向左走）或p假且q假（士兵说假话且应当向右走）练习二1、试判定以下各式是否为重言式：（1）(p→q)→(q→p)（2）┐p→(p→q)（3）q→(p→q)（4）p∧q→(p↔q)（5）(p→q)∨(r→q)→((p∨r)→q)（6）(p→q)∨(r→s)→((p∨r)→(q∨s))解（1）否（2）是（3）是（4）是（5）否（6）否2、试用真值表验证┐(A∧B) ↔┐A∨┐B和(A∧B→C) ↔ (A→(B→C))。
证3、不用真值表，用代入、替换证明（1）A∨(A∧B) ⇔A（2）A∧(A∨B) ⇔ A（3）A→B ⇔┐B→┐A证（1）A∨(A∧B) ⇔ (A∧t)∨(A∧B) 据E17用RR⇔A∧(t∨B) 对E8用RS⇔A∧t 据E16用RR⇔A 据E17（2）A∧(A∨B) ⇔ (A∨f)∧(A∨B) 据E18用RR⇔A∨(f∧B) 对E9用RS⇔A∨f 据E19用RR⇔A 据E18（3）┐B→┐A⇔┐┐B∨┐A 对E14用RS⇔B∨┐A 据E1用RR⇔┐A∨B 对E4用RS⇔ A→B 据E144、试用真值表验证：（1）┐A∧(A∨B)→B和┐B∧(A∨B)→A（2）(A→B) ∧(B→C) →(A→C)证（25、不用真值表，用代入、替换证明I7，I8。
证（1）I7：(A→B)∧(C→D)⇒ (A∧C)→(B∧D)(A→B)∧(C→D) ⇔ (┐A∨B)∧(┐C∨D)(A∧C)→(B∧D) ⇔ (┐A∨┐C)∨(B∧D)⇔ (┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D)由于(┐A∨B)∧(┐C∨D) ⇒ (┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D)故(A→B)∧(C→D) ⇒ (A∧C)→(B∧D)。
（2）I8：(A↔B)∧(B↔C) ⇒ (A↔C)(A↔B)∧(B↔C) ⇔ (A→B)∧(B→A)∧(B→C)∧(C→B)⇔ ((A→B)∧(B→C)) ∧((C→B)∧(B→A))⇒ (A→C)) ∧(C→A)⇔ (A↔C)6、用三种不同方法证明下列逻辑等价式：（1）A↔B⇔ (A∧B)∨(┐A∧┐B)（2）A→(B→C) ⇔B→(A→C)（3）A→(A→B) ⇔A→B（4）A→(B→C) ⇔ (A→B)→(A→C)⇔ (┐A∨B)∧(┐B∨A)⇔ (┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A)⇔ (A∧B)∨(┐A∧┐B)证法3：先证A↔B⇒ (A∧B)∨(┐A∧┐B) (a)设α为任一指派，使α(A↔B)=1，那么α(A)= α(B)=1或α(A)= α(B)=0，从而α(A∧B)=1或α(┐A∧┐B)=1，即α((A∧B)∨(┐A∧┐B))=1。
(a)得证；再证(A∧B)∨(┐A∧┐B) ⇒ A↔B (b)设α为任一指派，使α(A↔B)=0，那么α(A)=1，α(B)=0，或者α(A)=0，α(B)=1，从而α(A∧B)=0且α(┐A∧┐B)=0，即α((A∧B)∨(┐A∧┐B))=0。
(b)得证。
（2⇔ (┐A∨┐B)∨C⇔ (┐B∨┐A)∨C⇔┐B∨(┐A∨C)⇔B→(A→C)证法3：先证A→(B→C) ⇒ B→(A→C) (a)设α为任一指派，使α(A→(B→C))=1，那么ⅰ）α(A)= 0，则α( A→C)=1，从而α( B→(A→C))=1ⅱ）α(A)= 1，α(B)=0，则α( B→(A→C))=1ⅲ）α(A)=α(B)=α(C)=1，则α( B→(A→C))=1综上，(a)得证；同理可证B→(A→C) ⇒ A→(B→C)。
（3⇔ (┐A∨┐A)∨B⇔┐A∨B⇔A→B证法3：先证A→(A→B) ⇒ A→B (a)设α为任一指派，使α( A→B)=0，那么α(A)=1，α(B)=0，从而α( A→(A→B))=0。
(a)得证；再证A→B⇒ A→(A→B) (b)设α为任一指派，使α(A→(A→B))=0，那么α(A)=1，α(A→B)=0。
(b)得证。
（⇔ (A∧┐B) ∨(┐A∨C)⇔ ( (A∧┐B)∨┐A)∨C⇔ ((A∨┐A)∧(┐B∨┐A) )∨C⇔ (t∧(┐A∨┐B) )∨C⇔ (┐A∨┐B)∨C⇔┐A∨(┐B∨C)⇔A→(B→C)证法3：先证A→(B→C) ⇒ (A→B)→(A→C) (a)设α为任一指派，使α((A→B)→(A→C))=0，那么α( A→B)=1，α( A→C)=0，即α(A)= α(B)=1，α(C)=0，从而α( B→C)=0，α( A→(B→C))=0。
(a)得证；再证(A→B)→(A→C) ⇒ A→(B→C) (b)设α为任一指派，使α( A→(B→C))=0，那么α(A)=1，α(B→C)=0，即α(B)=1，α(C)=0，从而α(A→B)=1，α( A→C)=0，α((A→B)→(A→C))=0。
(b)得证。
7、用三种不同方法证明下列逻辑蕴涵式：（1）A∧B⇒ A↔B（2）(A→B)→A⇒ A（3）A→B⇒ ((A↔B)→A)→B（4）(A∨B)∧(A→C)∧(B→C) ⇒ C证（1⇔A↔B证法3：设α为任一指派，使α(A∧B)=1，则α(A)= α(B)=1，从而α( A↔B)=1。
A∧B⇒ A↔B得证。
（2⇔ (A∧┐B) ∨A⇔ (A∨A)∧(┐B∨A)⇔ A∧(┐B∨A)⇒ A证法3：设α为任一指派，使α(A)=0，则α(A→B)= 1，从而α((A→B)→A)=0。
(A→B)→A⇒ A得证。
（3((A↔B)→A)→B⇔┐((A↔B)→A)∨B⇔ ((A↔B) ∧┐A)∨B⇔ (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧┐A)∨B⇔ (┐A∧┐B)∨B⇔┐A∨B∴A→B⇒ ((A↔B)→A)→B证法3：设α为任一指派，使α( A→B)=1，则（ⅰ）α(A)= 0；（ⅱ）α(B)= 1。
对（ⅱ）显然有α( ((A↔B)→A)→B)=1；对（ⅰ）则可令α(B)= 0（α(B)= 1的情况已证），于是α(A↔B)=1，α((A↔B)→A)=0，α(((A↔B)→A)→B) =1。
A→B⇒ ((A↔B)→A)→B得证。
⇔(A∨B∨C)∧(A∨B∨┐C)∧(┐A∨B∨C)∧(┐A∨┐B∨C)∧(A∨┐B∨C)⇒ (A∨B∨C)∧(A∨┐B∨C)∧(┐A∨B∨C)∧(┐A∨┐B∨C)⇔ (A∨C) ∧(┐A∨C)⇔C证法3：设α为任一指派，使α((A∨B)∧(A→C)∧(B→C))=1，则α(A∨B)= α( A→C)= α( B→C)=1。