双曲面退化为圆锥面。
❖ 倒双曲面： Q [x (xi)2(yyi)2]1 2
多面函数法高程拟合
❖ 高程拟合的精度评定指标
❖ 内常符值合 i0精用度vi：i根据i0求参得与残计差算值的，己按知下点式的计高算程G异P常S值水准 i 的和内计符算合后精得度到的高程异
[VV ] n 1
❖ 外符合精度： 同样根据参与检核的己知点的高程异常值 i 和计算后得到的高
❖ 式中 a0， a1 ， a2， ， a9为模型的待定参数。
❖ 当控制点为n个，所取的项数为n项时，则存在如下方程组矩阵:
XA
二次曲面法高程拟合
❖ 其中
0
1
n1
a0
A
a1
a
n
1
1
X
1
x0
x1
y0
y1
x02 x12
1 xn1
yn1
xn21
❖ 通过高斯消元法求出模型参数A，然后求出未知点的高程异常值，进而
程异常值
0 i
用
vii
i0
求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度
M [VV] n 1
多面函数法高程拟合
❖ 内符合精度与外符合精度都是从点的统计角度出发的，可以说是一种相对意 义上的绝对精度评定。垂直数据因参考基准的不同，会有不同的系统偏差， 所以在某种意义上相对精度的评定更有说服力。
测量等级 三等几何水准测量 四等几何水准测量 普通几何水准测量
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X坐标 -9230.899 -10589.011 -8775.220 -7666.317 -11649.851 -8129.317 -4334.088
❖ 高程系统：与三个高程基准面相对应有三个常用的高程系统，正高高程系统、 大地高高程系统、似大地高高程系统。
❖ 目前我国所用的高程系统为似大地高高程系统而GPS高程是大地高高程系统。 由于参考椭球面与似大地水准面不重合。大地高与正常高之间就存在一个高 程异常。如下图所示
GPS高程拟合的基本理论
❖ 正常高与大地高之间的关系为：
高程异 H 常 H
❖ 因此求出高程异常进而求的正常高， 建立似大地水准面的过程就是GPS 高程拟合的过程。
二次曲面法高程拟合
❖ 曲面拟合法： 当GPS点布设成一定区域面时，可以用数学曲面拟合法求定待 定点的正常高。其原理是:根据测区中已知点的平面坐标x、y(或大地坐标B、 L)和高程异常值，用数值法拟合，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求 点的高程异常，从而求出待求点的正常高。
x2 n1
a0
A
a1
a
n
1
0
0 1
0 2
0 n
❖ 根据最小二乘原理可求： A(XTX)1XT0 带入模型公式可求出未知点的
高程异常，进而求出正常高。
二次曲面法高程拟合
❖ 在工程中应用较多的是二次曲面法拟合，其数学模型为：
a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x数与二次曲 面高程拟合的精度 比较
摘要
GPS平面测量数据由于其高精度的特性已在测绘领域到了广泛的应用。 如何有效利用其高程信息，把大地高转化为正常高，直接为测绘行业服务是 一个非常实际且有意义的课题。针对目前GPS高程拟合的研究现状，本文主 要讨论GPS点位成面状分布时的两种拟合方法，即对二次曲面法和多面函数 法比较。
❖ 在求模型参数时需要至少6个已知点的高程异常值。
多面函数法高程拟合
❖ 多面函数拟合曲面的方法是美国Hardy教1977年提出的，其理论基础是，任 何一个圆滑的数学曲面总可以用一系列有规则的数学表面的综合，以任意精 度逼近。
❖ GPS高程多面函数拟合法就是把拟合区域的高程异常，用多个曲面高度逼近， 建立数学模型，借此可以求得未知点的高程异常，然后根据GPS所求的大地 高来计算常规基准下的正常高。
水准限差
允许的最大限差（mm）
12 L 20 L 30 L
注：L为已知点与检核点的距离（单位：公里）
实例分析
❖ 右图为某中型城 市的城市控制网，图 中共有37个GPS—E 级控制点。为了研究 GPS拟合原理，对以 上所有控制点都进行 了三等水准测量，并 应用稳健估计进行粗 差探测，未发现粗差。
❖ 为了保证试验数 据的可靠性，其具体 数据见下表。
❖ 多项式曲面拟合： 多项式曲面拟合法是近年来使用的主要拟合方法，其中二 次多项式曲面拟合最为常见。多项式曲面拟合的一般模型为:
a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x a 5 y y 2 a 6 x 3 a 7 x 2 y a 8 x 2 a 9 y 3 ...
知点坐标。
❖ 其矩阵形式为: VAQ0
❖ 根据最小二乘原理可知其模型参数： A(QTQ)1QT0
❖ 将模型参数代入函数模型可得高程异常值，进而求出未知点的正常高。
❖ 常用的核函数有正双曲面和倒双曲面两种，其函数模型如下： 1
❖ 正双曲面：Q[x (xi)2(yyi)2]2 其中称为光滑因子，当其值为0时，正
关键词：大地高 正常高 二次曲面法 多面函数法
目录
GPS高程拟合基本理论 二次曲面法拟合 多面函数法拟合 实例分析 总结分析
GPS高程拟合基本理论
❖ 高程基准面：高程基准面是地面点的高程起算面，即水准零点。
❖ 测量中主要涉及三个高程基准面：地球的物理表面―大地水准面，地球的数 学表面―参考椭球面，还有一个抽象的曲面―似大地水准面。
❖ 一个数学表面上点 (x, y) 的函数值 (x, y)可表达成
u
(x,y) ajQ(x,y,xi,yi) j1
多面函数法高程拟合
❖ 式中，a j 为待定系数； Q(x,y,xi,yi) 是x和y的二次核函数，其中核心在 (xi , yi )
处，可由二次式的和确定，故称多面函数；x, y为待求点的坐标， xi , yi 为已
。 求出正常高 H
二次曲面法高程拟合
❖ 当控制点个数多于多项式的项数时，为了充分利用己知数据，通常会采用最 小二乘法拟合。
❖ 设点的高程异常 与其平面坐标 x, y 存在以下关系式：
VXA0
❖ 其中
v0
V
v1
v
n
1
1
X
1
x0
x1
y0
y1
x02 x12
1 xn1
yn1