优等生�江苏版高考数学专题28：以解析几何中定点、定值为背景的解答题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线与椭圆交于两点， 为椭圆上异于的点.（1）求椭圆的方程； （2）若，以为直径的圆过点，求圆的标准方程；（3）设直线与轴分别交于，证明： 为定值. 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，. F 为椭圆的右焦点， ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BF FD的值； ⑶设直线AB ， CD 的斜率分别为1k ， 2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， B 为椭圆的上顶点， 12BF F ∆ A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.4．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由.5．已知抛物线C ： 22y px =（0p >）的焦点是椭圆M ： 22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点，且两曲线有公共点23⎛ ⎝⎭（1）求椭圆M 的方程； （2）椭圆M 的左、右顶点分别为1A ， 2A ，若过点()40B ，且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ， Q 两点，已知直线1A P 与2A Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.6．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥， 121F F DF = 12DF F ∆. （1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于点A ，B （A 在x 轴上方），且3AB a =.设点A 在x 轴上的射影为N ，三角形ABN 的面积为2（如图1）.（1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q .①求证：直线OQ 的斜率为定值；②设直线OQ 与椭圆相交于两点C ， D （D 在x 轴上方），点P 为椭圆上异于A ， B ， C ， D 一点，直线PA 交CD 于点E ， PC 交AB 于点F ，如图2，求证： AF CE ⋅为定值.8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ： 2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ， Q ．（1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证： 2AP AQ MN ⋅为定值． 9．已知椭圆C ： 22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为12，且上焦点为()0,1F ，过F 的动直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．设点()3,4P ，记PM 、PN 的斜率分别为1k 和2k ．（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求12k k ⋅的值；（3）探索1211k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出1211k k +的取值范围．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A 、2A ，B 为短轴的一个端点， 12A BA ∆的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l x =x 轴交于D ， P 是椭圆C 上异于1A 、2A 的动点，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点，求证： DE DF ⋅为定值．11．已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .（1）若过点12C ⎛ ⎝⎭的直线l 被圆O l 的方程；（2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P ，使得PA =(O 为坐标原点)，求r 的取值范围； （3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A ，点()0,2B ，点()1C -． （1）求经过A ，B ，C 三点的圆P 的方程；（2）过直线4y x =-上一点Q ，作圆P 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标．参考答案1．（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据离心率为，左焦点，可求出和，从而求出椭圆的方程；（2）设，则，且，由，以为直径的圆过点可得即，从而可求出圆的标准方程；（3）设，则的方程为，求出两点的纵坐标，则，化简求得. 试题解析：（1）∵且∴，.∴椭圆方程为.（2）设，则，且.①∵以为直径的圆过点∴∴，又∵，∴.②由①②解得：，或（舍）∴.又∵圆的圆心为的中点，半径为，∴圆的标准方程为.（3）设，则的方程为，若不存在，显然不符合条件. 令得；同理， ∴为定值.点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.2．（1）22143x y +=（2）73 （3）53m = 【解析】试题分析：（1）22143x y +=；（2）由椭圆对称性，知31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时直线BF 方程为3430x y --=，故()11713317BF FD --==-． （3）设00,)A x y （，则()00,B x y --，通过直线和椭圆方程，解得00000085385,(525252x y x C D x x x ⎛⎫--+ ⎪--+⎝⎭，， 003)52y x +，所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =。

试题解析：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知： 2212{ 1914c a a b =+= 解之得：2{a b ==，所以椭圆方程为： 22143x y += （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 此时直线BF 方程为3430x y --=， 由223430,{ 1,43x y x y --=+=，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去）， 故()11713317BF FD --==-． （3）设00,)Ax y （，则()00,B x y --， 直线AF 的方程为()0011y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 ()2220000156815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标008552C x x x -=-， 又(),c C C x y 在直线()0011y y x x =--上，所以()000031152C c y y y x x x -=-=--， 同理， D 点坐标为0085(52x x ++， 003)52y x +， 所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-， 即存在53m =，使得2153k k =．3．(Ⅰ) 22143x y +=；（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【解析】试题分析：⑴由12BF F ∆为等边三角形，，可以得1c =，b =从而计算出结果；⑵设()11M x y ，， ()22N x y ，，联立直线与椭圆方程得12x x +， 12x x ，又因为MA NA ⊥， 1MA NA k k =-，代入化简得2271640m mk k ++=，解出m 与k 的关系代入求解即可解析：（Ⅰ）由已知()122{{12c 4BF F b b c S ∆==⇒=== ∴2224a b c =+=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）设()11M x y ，， ()22N x y ，， 联立22{ 1.43y kx m x y =++=，得()()222348430k x mkx m +++-=， ()()22222264163430340m k k m k m ∆=-+->+->，即 ()1222122834{ 43·.34mk x x k m x x k +=-+-=+， 又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 因为椭圆的右顶点为()20A ，，∴1MA NA k k =-，即1212·122y y x x =---， ∴()121212240y y x x x x +-++=，∴()()22222234431640343434m k m mk k k k --+++=+++，∴2271640m mk k ++=． 解得： 12m k =-， 227km =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾； 当227k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，点睛：本题是道解析几何综合题目，利用已知条件中的等边三角形及其面积求得椭圆方程，在求直线恒过定点时的方法，需要联立直线与椭圆方程，建立k 与m 的关系，然后根据直线特征计算出定点。