新课标高二数学期末同步测试题说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ）A ．)11)((b a b a ++≥4B ．33b a +≥22abC ．222++b a ≥b a 22+D ．b a -≥b a -2．△ABC 中，BC=1，B A ∠=∠2，则AC 的长度的取值范围为 （ ）A ．(1,21) B ．（23,1）C ．[1,21] D ．[23,1] 3．下列四个结论中正确的个数有（ ）①y = sin|x |的图象关于原点对称;②y = sin(|x |+2)的图象是把y = sin|x |的图象向左平移2个单位而得; ③y = sin(x +2)的图象是把y = sin x 的图象向左平移2个单位而得;④y = sin(|x |+2)的图象是由y = sin(x +2)( x ≥0)的图象及y = －sin(x －2) ( x <0)的图象 组成的.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．已知sin θ－cos θ=21, 则sin 3θ－ cos 3θ的值为 （ ）A ．167 B ．－1611 C ．1611D ．－1675．平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(－1, 3), 若点C 满足OC =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为（ ）A ．3x +2y －11=0B ．(x －1)2+(y －2)2=5C ．2x －y=0D ．x +2y －5=06．已知钝角三角形的三边分别是a,a+1,a+2，其最大内角不超过120°，则a 的取值范围是（ ）A ．23≥a B ．30<<aC ．323<<a D ．323<≤a 7．已知f(x )=b x +1为x 的一次函数, b 为不等于1的常数, 且g (n)=⎩⎨⎧≥-=)1()]1([)0(1n n g f n ,设a n = g (n)－ g (n －1) (n ∈N ※), 则数列｛a n ｝是（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列8．定义()3nn N *∈为完全立方数，删去正整数数列1,2,3……中的所有完全立方数，得到一个新数列，这个数列的第2005项是（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．20209．已知θ为第二象限角，且2cos2sin θθ<，那么2cos2sinθθ+的取值范围是 （ ）A ．（－1，0）B ．)2,1(C ．（－1，1）D ．)1,2(--10．若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k π，x －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是（ ）A ．2B ．4C ．3或4D ．2或3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．10cos 310sin 1-的值为 ． 12．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0, 且a 1, a 3, a 9成等比数列, 则1042931a a a a a a ++++的值是 ．13．已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量)1,3(-=b , 则b a -2的最大值是 ． 14．已知α、β是实数, 给出四个论断:①|α+β|=|α|+|β|; ②|α－β|≤|α+β|; ③|α|>22,|β|>22; ④|α+β|>5. 以其中的两个论断作为条件, 其余论断作为结论, 写出正确的一个 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。

15．（12分）在△ABC 中，sinA+cosA=22，AC=2，AB=3，求tanA 的值和△ABC 的面积.S=2a S n－a n (n≥2)且a1=2, 求a n和S n. 16．（12分）已知数列｛a n｝的前n项和S n满足22n17．（12分）已知向量552||),sin ,(cos ),sin ,(cos =-==→→→→b a b a ββαα. （1）求)cos(βα-的值； （2）若αββππαsin ,135sin ,02,20求且-=<<-<<的值．18．（12分）已知a、b∈R, a2+b2≤4, 求证: | 3a2－8a b－3b2|≤20.19．（14分）△OBC的顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n的坐标为(x n,y n),.2121++++=n n n n y y y a （1）求321,,a a a 及n a ;（2）证明;,414*+∈-=N n y y nn （3）若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列．20．（14分）已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在),0[+∞上是增函数，是否存在这样的实数m ，使)0()cos 24()32(cos f m m f f >-+-θθ对所有的]2,0[πθ∈均成立？若存在，求出适合条件的实数m 的值或范围；若不存在，说明理由．高二新课标数学期末参考答案一、BABCD DBADD 二、11．4；12．1613；13．4；14．①③⇒②④ 或②③⇒①④ 三、15．解：∵sinA+cosA=2cos(A －45°)=22， ∴cos(A －45°)=21. 又0°<A<180°, ∴A －45°=60°，A=105°. ∴tanA=tan(45°+60°)=3131-+=－2－3.∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°×cos60°+cos45°×sin60°=462+.∴S ABC =21AC ·ABsinA=21·2·3·462+=43(2+6). 16．解：a n =S n － S n+1 (n ≥2) 代入题设等式得2 S n ·S n －1= S n －1－S n , 即n S 1－11-n S =2, ∴数列｛nS 1｝是以21为首相, 2为公差的等差数列.∴n S 1=21+( n －1)·2=2 n －23=234-n ,∴S n =)74)(34(83)1(43342.342---=----=-n n n n a n n (n ≥2)∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()74)(34(8)1(2n n n n17．解：（１）),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==→→b a.53)cos(.54)cos(22,552)sin (sin )cos (cos ,552||).sin sin ,cos (cos 22=-∴=--=-+-∴=---=-∴→→→→βαβαβαβαβαβα即b a b a（2）.0,02,20πβαβππα<-<∴<<-<<1312cos ,135sin .54)sin(,53)cos(=∴-==-∴=-βββαβα.6533)135(53131254sin )cos(cos )sin(])sin[(sin =-⋅+⋅=-+-=+-=∴ββαββαββαα18．解： ∵ a 、b ∈R, a 2+b 2≤4, ∴设a=rcos θ, b=rsin θ, 其中0≤r ≤2.∴| 3a 2－8ab －3b 2|=r 2|3cos2θ－4sin2θ|=5r 2|sin(2θ－arctan43)|≤5r 2≤20. 19．解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ， 又由题意可知213+-+=n n n y y y , ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列. ∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y又∵2214++++=n n n yy y , ∴.414n n y y -=+（Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+=,41n b -又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列.20．解：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )= －f (x )， 又∵定义域为R ， ∴令x =0，得f (0)=－f (0),得f (0)=0. ∵f (cos2θ－3)+f (4m －2mcos θ)>f (0),∴f (cos2θ－3)>－f (4m －2m ·cos θ),即f (cos2θ－3)>f(2mcos θ－Δm).∵f (x )在),0[+∞上是增函数，且f (x )为奇函数，∴f (x )在（－∞,+∞）上也为增函数。

∴cos2θ－3>2mcos θ－4m,即2cos 2θ－4>2mcos θ－4m, 即cos 2θ－mcos θ+2m －2>0,∵]2,0[πθ∈，∴cos θ∈[0,1] ，令t =cos θ,t ∈[0,1],则满足条件的m 应该使不等式t 2－m t +2m －2>0对任意的t ∈[0,t ]均成立。

设g(t)=t 2－mt+2m －2=⎪⎩⎪⎨⎧>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤⎪⎩⎪⎨⎧><-+--,0)1(,12,0)2(,120,0)0(,02,224)2(22g m m g m g m m m m t 或或则 解之得2,2224>≤<-m m 或. 故满足条件的m 存在，取值范围是).,224(+∞-。