举例： 例1：“没有不犯错的人。”
解：设F(x)为“x犯错误”，M(x)为“x是人”（特性谓 词）。 可把此命题写成： ¬(x(M(x) F(x)))
x(M(x)F(x)) 例2：“x是y的外祖父” “x是z的父亲且z是y的母亲”
设P(z)：z是人；F(x,z)：x是z的父亲；M(z,y)：z是y的母 亲。 则谓词公式可写成：z(P(z) F(x,z) M(z,y)) 。 5.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相同。
上例说明： 若个体域是有限的，则可省掉量词。 若个体域是无限的，则可将上述概念推广从而省去量词，不
过要注意这是由无限项组成的命题。
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
例：设个体域为：N={0,1,2…}， P(x)表示：x>3 ,则可写出：
xP(x)P(0) P(1) … P(i) … xP(x) P(0)P(1) … P(i) …
§3谓词公式与翻译
⑸只有按⑴-⑷所求得的那些公式才是谓词公式（谓词公式又 简称“公式”）。
例1：任何整数或是正的，或是负的。 解：设：I(x): x是整数； R1(x)：x是正数；R2(x)：x是负 数。
此句可写成：x(I(x)(R1(x) R2(x) )。
例2：试将苏格拉底论证符号化：“所有的人总是要死的。 因为苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。” 解：设M(x)：x是人；D(x)：x是要死的； M(s)：苏格拉底是人；D(s)：苏格拉底是要死的。
“”表达式的读法： · x A(x) ：存在一个x,使x是…； · x¬A(x) ：存在一个x, 使x不是…； ·¬ x A(x) ：不存在一个x, 使x是…； ·¬ x¬A(x) ：不存在一个x, 使x不是…。
§2 命题函数与量词
例：（a）存在一个人； （b）某个人很聪明； （c）某些实数是有理数 将（a）,（b）,（c）写成命题。
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
基本定义 《定义》A，B为二个谓词公式，E为它们共同个体域，若对
A和B的任一组变元进行赋值，使得A和B的值相同，则称 A和B遍及E是互为等价的，记为AB或
E
A B
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体 变元指派E中的每一个客体名称所得命题的值均为真，则 称A在E中是永真的。若E为任意域则称A是永真的。
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第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
§1 谓词的概念与表示法
在研究命题逻辑中，
原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题进行 分解，
§3谓词公式与翻译
写成符号形式： x(M(x) D(x))， M(s) D(s)
2.由于对个体描述性质的刻划深度不同，可翻译成不同 形式的谓词公式。
§4变元的约束
1.辖域：紧接在量词后面括号内的谓词公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 可以将命题函数命题，有两种方法：
§2 命题函数与量词
a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x)
个体域的给定形式有二种： ①具体给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有的个体从该域中取得。
H作为“谓词”（或者谓词字母）用大写英文字母表示， j,m为主语，称为“客体”或称“个体”。
§1 谓词的概念与表示法
（1）谓词填式：谓词字母后填以客体所得的式子。
例：H(a, b)
（2）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 系着n个客体，则称作n元谓词。
4.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若在谓词公式中出现有自由变元，则该公式为命题 函数； （b）若在谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为 命题。
例： xP(x,y,z)是二元谓词， yxP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一
个命题。
§4变元的约束
Ｐ(x)Ｐ(x)∨Ｑ(x) Ｐ(x)ΛＱ(x) Ｐ(x)
. . .
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
2.含有量词的等价式和永真蕴含式
设个体域为：S={a1,a2,…an}，我们有： xA(x)A(a1) A(a2) … A(an) xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组 成的表达式，称为简单命题函数。
§2 命题函数与量词
讨论定义： （a）当简单命题函数仅有一个客体变元时，称为一元简 单命题函数； （b）若用任何客体去取代客体变元之后，则命题函数就 变为命题； （c）命题函数中客体变元的取值范围称为个体域（论述 域）。
§4变元的约束
6.个体域（论述域，客体域）:用特定的集合表示的被约束变 元的取值范围。
(1)个体域不同，则表示同一命题的谓词公式的形式不同。 例：“所有的人必死。”令D(x)，x是要死的。
下面给出不同的个体域来讨论： (ⅰ)个体域为：{人类}， 则可写成xD(x)； (ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必须首先从任意
解：规定：M(x)：x是人；C(x)：x是很聪明； R1(x)：x是实数(特性谓词) R2(x)：x是有理数。
则 （a） x M(x) ； （b） x (M(x) C(x))； （c） x (R1(x) R2(x)) 。
（3）量化命题的真值：决定于给定的个体域 给定个体域：{a1…an}以{a1…an}中的每一个代入
（3）客体的次序必须是有规定的。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
§2 命题函数与量词
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。
在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元 （客体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x) 为命题函数。
xP(x)P(a1)… P(an) xQ(x)Q(a1)… Q(an)
§3谓词公式与翻译
1.谓词公式 原子谓词公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式称 为词原，子x1谓…词xn公称式为，客并体用变P元(x）1…，x当n)n来=表0时示称。为（零P元称谓为词n元公谓式。
《定义》（谓词公式的归纳法定义） ⑴原子谓词公式是谓词公式； ⑵若A是谓词公式，则¬A也是谓词公式； ⑶若A, B都是谓词公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)都 是谓词公式； ⑷若A是谓词公式，x是任何变元，则xA, xA也都是谓词 公式；
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体变 元指派E中每一个客体名称，在E中存在一些客体名称， 使得指派后的真值为“T”，则A称是可满足的。
《定义》若给A中客体变元指派个体域中任一客体名称，使 命题的值均为“F”，则称A是永假的。
1.不含量词的谓词公式的永真式 : 只要用原子谓词公式去代命题公式的永真式中的原子命题变
§1 谓词的概念与表示法
1.谓词： 《定义》：用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。
我们可把陈述句分解为，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”， 则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
这样会产生二大缺点： （1）不能研究命题的结构，成分和内部逻辑的特征； （2）也不可能表达二个原子命题所具有的共同特征，甚 至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。
例：苏格拉底论证是正确的，但不能用命题逻辑的推理规则 推导出来。
“所有的人总是要死的。
A
“苏格拉底是人。
B
“所以苏格拉底是要死的。” C
下面介绍约束变元的改名规则： （a）在改名中要把公式中所有相同的约束变元全部同时 改掉； （b）改名时所用的变元符号在量词辖域内未出现的。
§4变元的约束
例： xP(x) yR(x,y)可改写成xP(x) zR(x,z) ，但不 能改成xP(x) xR(x,x) ， xR(x,x)中前面的x原为自由 变元，现在变为约束变元了。
2.自由变元与约束变元 约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。 自由变元：当且仅当不受量词的约束。 例： xP(x,y) , x(P(x) y(P(x,y)) 。
§4变元的约束
3.约束变元的改名规则 任何谓词公式对约束变元可以改名。
我们认为xP(x,y)和zP(z,y)是一等价的谓词公式，但是需 注意，不能用同一变元去表示同一谓词公式中的二个变元。 例如： yP(y,y)是不正确的。
下面分类介绍在谓词公式中含有量词的等价式和永真蕴含式。 （1）量词转换律： E25(Q3) ¬xP(x) x¬P(x) E26(Q4) ¬xP(x) x¬P(x)
x(C(x) A(x)) TT F FF
（ⅱ）描述命题：“一些猫是黑色的” 。 x(C(x) B(x)) FF F F F 而 x(C(x) B(x))F F T TT
§4变元的约束
7.量词对变元的约束，往往与量词的次序有关。 例：
yx(x<y-2))表示任何y均有x，使得x<y-2。
对于全称量词，其特性谓词以前件的方式加入； 对于存在量词，其特性谓词以与的形式加入。