摘要深圳作为中国经济发展的重点城市，人口与医疗问题已经成为我们的焦点话题，是一个复杂的系统工程。

本文针对深圳地区人口年龄分布情况，外来务工人员的数量，从实际出发，在基于一些合理简化假设的基础上，建立数学模型，并充分利用matlab等软件简化计算，对相关问题进行了有针对性的求解。

在预测未来十年深圳常住人口时，我们运用了matlab一元线性回归对近十年的数据进行式为：Q(，导致深圳目前人均医疗设施低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。

然而，政策的调整与世界的推移会使深圳市老年人增加。

产业结构的变化也会影流动人口的数量。

直接会导致深圳市未来的医疗需求的变化。

现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，难以满足人口和医疗预测的要求。

为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；2.根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，对几种病进行预测，在不同类型的医疗机构就医的床位需求。

2.1题目中所给的两个问题都属于预测的数学问题。

其中问题一需要通过对深圳人口数量极其人口结构进行预测，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。

为了解决此问题，我们首先要对近十年的常住人口与非常住人口进行分析，其次再对人口数量和结构进行分析，通过对这些已知数据的分析和统计，在预测未来十年深圳常住人口时，我们运用了matlab 对近十年的数据进行了多次拟合，并对这些拟合进行了比较得出深圳常住人口模型公式为：2Q x e x x=+-+，通过这个模型对未来十年深圳常住人口进行预测。

() 1.00050.00838.1671接而得出未来十年，即得到深圳市2011年到2020年每年的人口增长率，得出深圳市未来十年的人口数量发展趋势。

通过按照年龄来划分儿童、青壮年、老年三个年龄层，求出三个年龄层的比例模型，通过得出关系函数在计算得出未来十年的结构发展趋势。

通过如下关系：年龄结构和患病率相关，患病率和住院率相关，住院人口数和床位有关，建立数学模型，预测得出未来十年的床位需求数。

6、假设当地人们的生育观念不发生太大变化。

7、假设人们生病时都能支付起医疗费。

8、假设各区域的患病者不相互交换，即各区域是相互独立的。

四、定义符号与说明见文中标注五、模型的建立与求解一、问题一的分析（一）深圳市常住人口的预测（1）利用现有数据（表一）分析深圳从1979年到2010年的年末常住人口数变化规律。

运用Excel软件画出深圳1979年到2010年的人口数量折线图（图一）：表1：1979—2010年年末常住人口数（的人（38.1671，（二）流动人口的预测从深圳的人口的结构来看，显着的特点是流动人口远远超过户籍人口，因此对深圳流动人口的预测对整个深圳及各区医疗床位需求的预测中起到至关重要的作用。

（1）流动人口定义流动人口是相对于某地的常住人口而言的, 指离开常住户籍所在地, 跨越一定的行政辖区范围, 在某一地区滞留的人口。

其包括:1、 进入城镇务工、经商、和从事劳动服务的暂住人口；2、为探亲访友、旅游、求学、治病等而外出的人员;3、 无职业、无收入、无暂住证的三无人员即盲流人口。

为此我们可得：123Q Q Q Q =++非其中：Q 非——非常住人口总和；1Q 2Q 3Q （2p X X b １对于一个非平稳序列来说，其数字特征，如均值，方差和协方差等是随着时间的变化而变化的。

也就是说,非平稳序列在各个时间点上的随机规律是不同的，难以通过序列已知的信息去掌握序列整体上的随机性。

而GDP 时间序列都是非平稳的,为此我们采用ARIMA 模型求解：ARIMA 模型使用包括自回归项（AR 项） , 单整项和MA 移动平均项三种形式对扰动项进行建模分析, 使模型同时综合考虑了预测变量的过去值, 当前值和误差值, 从而有效地提高了模型的预测精度 。

（1）ARIMA 模型的形式：考虑序列t y ,若其能通过d 次差分后变为平稳序列, 即~()t y I d , 则t u 为平稳序列, 即~(0)t u I , 于是可建立ARIMA (,)p q 模型：经d 阶差分后的ARIMA (,)p q 模型称为ARIMA (,,)p d q 模型。

其中p 为自回归模型的阶数，q 为移动平均的阶数，t ε为一个白噪声过程。

（21）, 则2） PACP ）准则等34）（3（4）序列的平稳性处理：对t X ,进行平稳性检验(ADF 检验) ,结果如表2 :表3：序列A D F 检验结果由表7可知其不平稳。

为了消除原始数据序列的不平稳性, 使数据更为平稳, 本文采用对深圳国内生产总值序列取对数形式, 记为ln t X ，序列ln t X 一阶差分后的序列记为ln t X ∆,二阶差分后的序图7列记为2ln t X ∆，按二阶差分后数据作序列图2 , 可见时间趋势基本消除, 可认为是平稳序列但序列图只能粗略地判断序列具有平稳性, 理论上应用单位根检验方法检验。

对2ln t X ∆, 进行平稳性检验(A D F 检验) , 结果如表3 :表4：序列ADF 检验结果由表7可知其平稳,说明GDP 序列为2 阶单整序列, 即2ln ~(2)t X I ∆模型的识别与建立: (括从图9可以看出, 模型的拟合值和实际值的变动具有较好的一致性。

其次, 模型的残差值较小，消除了线性或者指数趋势, 表现得较为平稳, 说明模型通过了适应性检验, 所以该模型还是比较理想的。

为了进一步检验该模型的效果, 记ˆt u为该模型的残差序列, 对其进行DF 检验, 得：1ˆˆ1.118299t t u u -∆=-，DF 的值为-5.3921 而在1%显着水平下,DF 的临界值为-2.6649，因此,残差序列ˆt u, 即误差项序列能在1 %显着水平下被看作白噪声过程，这说明2ln t X ∆的拟合值是实际值的无偏估计, 模型具有较好的拟合效果。

作出残差序列ˆt u前16 阶的自相关(ACP)和偏自相关(PACP)图, 分别见图10和图11。

从两图我们也可看出, 自相关函数和偏自相关函数均落在置信区间内, 残差序列应为白噪声过程, 这与上面D F 检验的结果一致。

图8: 自（5由用(1,2,2)ARIMA 模型对深圳国内生产总值作预测, 结果见表4表5：实际值与ARIMA 模型预测值比较衰(亿元)为此，我们可以求出p 和b １的值：由1()tGDP Q p X X b =-+1可得：通过1979年初始可知31.41b =,X 出几乎可以忽略不计，则：通过上面数据求出p 的平均值为：由此可得：则：Q Q Q =-1常可得下表：表6：Q 与时间关系表3）求解为探亲访友、旅游、求学、治病等而外出的人员：2p Q 旅Q 学Q 医2b 求解2p ,对于探亲访友人数应该和在该地区中人口成正比，在1979年，深圳刚开放，以此那时没有几乎没有其它外来人员，为此我们可得：可得：表7：访友人数表求解Q 旅，根据现有的资料，我们查的深圳市南山区2008年统计年签旅行情况可得：如下表：表8：09年6月旅游者接待情况统计为此，根据上表我们求解出该区每天平均每天接待人数和同比增长率如下表所示：表9：每天平均每天接待人数和同比增长率由上表可知深圳近几年来旅游增长幅度不大，而且旅游是深圳非常住人口的一小部分，为了减少计算难度，我们忽略的这种增长。

对于深圳共有7个区，为了简化计算，我们假p2S3）求解三无人口数目Q三无：三无人口定义：无职业、无收入、无暂住证的三无人员即盲流人口。

由此我们可以得到该三无人口出现的概率非常小，几乎可以忽略不计，为此我们也将他归为其它人口内。

综上所述：综上所述求解Q可得：非表10：非常住人口表（三）深圳市未来十年人口结构的预测根据2010 年深圳人口总数是1037.2万,按照每五岁为一个年龄组,把0～99 岁划分成20 个年龄组,即0～4 岁为第1 个年龄组,5～9 岁为第2 个年龄组,10～14 岁为第3 个年龄组, ?,95～99 岁组第20 个年龄组,100 岁以上为第21 个年龄组,并设各年龄组人口构成的初始人口列向量为X(0) = [ x1 (0) ,x2 (0) ,x3 (0) ,?,x21 (0) ] T ; 第5t 年各年龄组人口构成的人口列向量为X(t) = [ x1 (t) ,x2 (t) ,x3 (t) , ?,x21 (t) ] T ,称 C2 , (即125 ‰) 的。

若把t年龄组(即100 岁以上) 的老年人五年后存活下来的仍然属于第21 年龄组。

由此可得人口系统状态X( t ) 关于离散时间变量t ( t = 1 ,2 ,3 , ?,n ,?) 的状态转移方程组x21( t + 1) = s20x20 ( t) + s21x21( t) （1）引进系数矩阵：则方程组(1) 可用矩阵形式表示成X(t + 1) = AX(t) t = 0 ,1 ,2 ,3 , ? (2)矩阵A为Leslie矩阵[2 ] ,以A 为系数矩阵的人口状态向量X(t) 的转移方程(2) ，就是人口增长的动力学模型。

若以2010 年的人口向量为初始向量X(0) ,把X(0) 代入方程(2) 可依次求得2015年、2020 年等以后第5t 年的人口向量X(t) 的预测值。

由于方程(2) 以五年为一个时间单位,故应根据表2 中的数据计算出五年内各年龄组的死亡率与生育率。

假设第k 组人口年平均死亡率为λk ,则由于单位时间dt 内的死亡人数与)(t ds k B=[ 表11为住院率，Q为区床位需求，则各区年龄结构⨯全区总人数表13：2005年患病人数表优点：本文在预测问题一中深圳未来十年年末常住人口时，通过matlab的一元线性回归对已知数据进行多次拟合，由此得出了未来十年年末常住人口的函数模型，通过多次的拟合，得到了较高的拟合度。

在预测人口结构时，使用了Leslie矩阵，该模型最大的优点就是即使已知的数据很少，也可以通过建立模型对未来的数据进行预测。

通过对深圳常住人口数的预测和人口结构的预测，加上题目提供的各区的人口数据，我们运用matlab最小二乘法拟合散点得出2000到2010年各区床位需求大致走向是呈正向发展趋势，而且在应用最小二乘法拟合数据实可以根据需要进行多次数的拟合，5次的精确率高达95%，所以我们的数据误差较小准确性较高。

我们应用了几乎所有数据更能体现出数据的可靠性和真实性，更加准确地预测出未来全市和各区医疗床位需求。