深圳杯数学建模A题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号(竞赛组委会填写）：论文题目: A题:深圳人口与医疗需求预测组别：本科生参赛学校:东北电力大学报名序号:(可以不填)参赛队员信息(必填)：姓名专业班级及学号联系电话参赛队员1 李峰自动化卓越111班２5参赛队员2 李扬电自1１1３班２4参赛队员3 黄阳红电自1１1４班２３ﻩ答卷编号(竞赛组委会填写）：评阅情况(省赛评阅专家填写）:省赛评阅１：省赛评阅2:省赛评阅３：省赛评阅4:省赛评阅５：深圳市人口与医疗需求预测模型摘要本论文针对所提出的“深圳人口与医疗需求预测”的问题，根据所给定的深圳市现有数据及其相关查阅参考资料建立起深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求。
首先，对深圳市常住人口数据进行分析,用MＡTＬＡB的scaｔｔe ｒ散点图描点可以大致看出深圳市常住人口（R）与时间（T）呈线性增长变化,于是通过多项式曲线拟合构建一阶深圳市常住人口与时间的线性方程模型。
同样从非常住人口数据中初步估计模型，根据实际数据情况,对于非常住人口的变化特征,我们采用了灰色模型(Grey Mｏdｅl,GM)，使用MAＴLAB对灰色模型GM（1，1)编程得到预测值,残差,级比偏差等相关数据结果。
由于初步编程得出的预测模型为其累加后的方程,通过生成序列预测值及模型还原值之间的关系及之前所求的预测值模型易求的非常住人口变化特征模型。
而对于之后的人口结构特征模型及病床床位需求模型均采用多项式二阶及三阶曲线拟合,所得其模型方程。
考虑到问题研究的实用性,我们选取了肺癌与胃癌作为深圳市疾病研究的对象,我们通过查找肺癌与胃癌在深圳市不同年龄段的发病率，这两种病在市级与区级医院的住院天数以及这两种级别的医院的平均年床开放日数，利用已知的病床需求函数,做出了针对深圳市不同级别医疗机构的函数表达式,通过函数表达式我们可以很轻松的看出深圳市不同类型医疗机构的床位需求。
最后以我们的模型为依托去测试深圳市各年的相关数据,都表现出来比较好的吻合性，它充分证明了我们模型的正确性。
但是,由于时间仓促,模型仍有不完善地方，而且有其局限性(在较长时间内误差较大),随着时间推移,深圳外来人口比例将更低,老龄化趋势将更加显著，这显然会影响深圳市各级机构床位需求的预测,我们希望可以引入包含年龄结构的函数对其修正，而这将会成为我们以后的一个研究方向。
关键词：多项式曲线拟合、灰色预测模型、床位需求方程、人口与医疗１．问题的重述深圳是我国经济发展最快的城市之一，３0多年来，卫生事业取得了长足发展,形成了市、区及社区医疗服务系统,较好地解决了现有人口的就医问题。
从结构来看,深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口,且年轻人口占绝对优势。
深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。
年轻人身体强壮,发病较少,因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。
然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加,产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。
这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。
未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关,合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求,是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。
然而,现有人口社会发展模型在面对深圳情况时,却难以满足人口和医疗预测的要求。
为了解决此问题,请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面)收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征,预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；2.根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等)在不同类型的医疗机构就医的床位需求。
2.问题的分析对于问题一,由于深圳市的流动人口多，但户籍人口较少，针对这个情况,我们选取人口结构中的主要矛盾,即常住人口与非常住人口(即非户籍人口)进行研究。
我们首先分析了深圳市近十年的常住人口，应用MATLAB的多项式曲线拟合预测深圳市未来十年的常住人口。
我们用灰色模型对流动人口进行分析，通过拟合结果研究其非户籍人口变化。
而对于人口结构,我们则用非户籍人口与常住人口的比例来表示。
床位需求主要由各年龄段的人数以及与其相对应的住院率相对应,因此我们可以先分析出深圳市的年龄结构,然后查找与其相对应的住院率数据。
对于问题二，我们可以利用第一问得出的常住人口变化函数与人口年龄结构得出未来某一年深圳市的某一年龄段的人数。
考虑到研究的实用性与可行性，我们可以以肺癌和胃癌作为研究对象，通过肺癌和胃癌的住院率与发病率,得出住院人数。
同时我们需要考虑到不同类型的医疗机构的住院天数受医院设备、人员水平等因素影响，通过查找资料，我们可以得出不同类型的医疗机构治疗同一种病的住院天数。
ﻩ 3.模型的假设与符号说明３.1模型的假设1.针对研究的问题，每个年龄段发病率住院率保持不变；2.抽样调查结果具有较高准确性；3.深圳市各区人口所占深圳市总人口比例保持不变;4.没有大的自然灾害等急剧影响深圳市人口结构的事件发生；5.深圳市现行的各种人口政策保持不变;６.深圳市各年龄段所占人数比例不变。
3.2符号说明R 年末常住人口数G （无户籍)非常住人口数U 人口结构特征（非常住人口与常住人口的比值)T 取值为0~9而不是2０0０~2009的年份时间值S 深圳市病床床位需求数C 肺癌患病人数Ｄ胃癌患病人数E1 肺癌在市级医院的病床需求Ｅ２胃癌在区级医院的病床需求F1 肺癌在市级医院的病床需求Ｆ2 胃癌在区级医院的病床需求4.模型的准备1.多项式曲线拟合及灰色模型知识的学习;2.对所有给定的数据整合与分析;3.根据所分析假设的模型所额外需求的变量查找其相关数据库；4．查找资料，得知近几年的全市病床总数，不同年龄段肺癌和胃癌发病率5．模型的建立与求解５.1 问题1的模型建立与求解5．1.１最近十年常住人口及未来十年发展情况由于常住人口数量受历史影响较大，不易发生较大变化，且在数据处理中发现了较强的线性关系，我们采用了一元线性拟合来简化模型。
用近十年即2001至２０１0年的数量作为样本其数据［１]如下：表1 深圳市2001~2０１0年年末常住人口数作数据的散点图有：051070075080085090095010001050051070075080085090095010001050图１ 深圳市2001～２010年年末常住人口数发现常住人口数几乎成直线上升。
因此，可以用一次多项式1133.6712152.35+=T R(1)进行拟合,未来十年的预测结果为:表2 预测深圳市20１1~2020年年末常住人口数年份2 ２014 20１5 年末常住人口数(万人） １058．５ 10９３.７ 11２8．９ 1164.1 1１99.3 年份22019 ２０20 年末常住人口数（万人) 123４.６ １2６9.81305.0１340.2 1３75.41112131415161718192010501100115012001250130013501400图２ 预测2０11~2０20年深圳市常住人口5.1.2 非常住人口及未来十年发展情况 ５.１.2.１模型的概述非常住人口受各方面因素影响较大，采用灰色模型进行拟合。
我们采用灰色ＧM(１,1)是因为灰色模型适用于小样本、贫信息、内在规律未充分外露的系统，按适当办法处理原始数据后得到规律性较强的生成函数。
本题给出的常住人口、非常住人口数据受到难以区分的多重因素影响,且数据量较小,适用于灰色模型[2]。
灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM （1,1）模型。
它是基于随机的原始时间序列,经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。
经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。
因此,当原始时间序列隐含着指数变化规律时,灰色模型GM （1，1）的预测是非常成功的。
ＧM(1，１）的定义 设)0(x 为ｎ个元素的数列))(, ),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x=,)0(x 的AGO 生成数列则]2.103701.99528.95427.77862.74657.724[)0( =x ,其中),,2,1()()(1)0()1(n k i x k x ki ==∑= (2）则定义)1(x 的灰导数为(0)(1)(1)()()()(1)d k x k x k x k ==-- (３)令(1)z 为数列()1x 的紧邻均值数列,即(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+-,2,3,,k n = (4)则(1)(1)(1)(1)((2),(3),())zz z z n =,.于是定义G Ｍ(1,1)灰微分方程模型为(1)()()d k az k b += (５）即)()()()0()0(a b k az k x =+ (６）其中(0)()x k 称为灰导数,a 称为发展系数,1()z k （）称为白化背景值，b 称为灰作用量．将时刻2,3,k n =…,代入(a)式中有(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2)(3)(3)()()x az bx az bx n az n b⎧+=⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ (7) 令(0)(0)(0)((2),(3),())T Y x x x n =,,(,)T u a b =，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z z B z n ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢-⎥⎣⎦，称Y 为数据向量，B 为数据矩阵,u 为参数向量,则ＧM （1，1）模型可以表示为矩阵方程Y Bu =.由最小二乘法可以求得1ˆˆˆ(,)()T T T ua b B B B Y -== (8) ＧM(1,1)的白化型对于G Ｍ(1,1）的灰微分方程(7)，如果将(0)()x k 的时刻2,3,k n =视为连续的变量t ，则数列()1x 就可以视为时间t 的函数，记为(1)(1)()x x t =,并让灰导数(0)()x k 对应于导数(1)dx dt,背景值(1)()z k 对应于(1)()x t ．于是得到G Ｍ（１,1）的灰微分方程对应的白微分方程为(1)(1)dx ax b dt+= （9)称之为G Ｍ(１,1)的白化型. 5.１.2.2 模型的建立此预测模型是拟合参数模型，通过原始数据累加生成,得到规律性较强的序列,用函数曲线拟合得到预测值．建立过程如下:1) 设原始数据序列(0)X 有ｎ个观察值，(0)(0)(0)(0){(1),(2),,()}XX X X n =，通过累加生成新序列(0)(1)(1)(1){(1),(2),,()}X X X X n =，利用新生成的序列(1)X 拟合函数曲线.2) 利用拟合出的函数求出新生序列(1)X 的预测值序列(1)X . 3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原，得到灰色预测值序列0000{(1),(2),,()}X X X X n m =+(共n+m 个，m 个未来预测值).将序列(0)X 分为0Y 和0Z ,其中0Y 反映(0)X 的确定性增长趋势，0Z 反映(0)X 的平稳周期变化趋势．4) 对(0)X 序列的确定增长趋势进行预测.5.１.2.2 模型的求解整理得深圳市20０１年～201０年非常住人口数：表 3 深圳市200１～2０１0年年末非常住人口数年份 22０１4 2015 年末非常住人口数（万人) 592．53 60７.17627.34 6３５.67 6４５.８2 年份 ２2019 2020 年末非常住人口数(万人) 674．２7 699.9972６.2１ ７53.5６ 7８6．17根据上述数据建立含有１0个观察值的原始数据序列(0)X : ]17.786...53.592[)0(=X使用Matl ａｂ软件对(0)X 进行一次累加,得到新数列(1)X 。