补充例题
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矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵.
求逆矩阵的初等行变换法
设A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵. 显然A1也可逆 所以存
在初等矩阵P1 P2 Pl 使 A1P1P2 Pl
于是有
A1AP1P2 Pl A
即
E P1P2 Pl A
及
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r43r1
0 5 0 3
5 3 6 3 4 3
r43r2
0 0
0 0
0 2 6 0 1 3
~ ~ r3r4
r42r3
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r1r2 r2r3
1 0
0 1 1 1
0 0
4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 20 06
P1P2 Pl (A B)(E A1B). 上式的意义
(i)取BE时 上式成为 P1P2 Pl (A E)(E A1).
(ii)当A为可逆矩阵时 方程AXB的解为XA1B. 求AXB 的解可以对(A B)进行初等行变换 使之成为(E A1B) 此时即 得XA1B.
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❖矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A
与B行等价 记作 A ~r B.
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A 与B列等价 记作 A ~c B.
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B 等价 记作 A ~ B.
❖等价关系的性质 (i)反身性 A~A (ii)对称性 若A~B 则B~A (iii)传递性 若A~B B~C 则A~C .
3 1
6 6
3 2
2 9
1 1
2 7
9446
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3.
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❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
1 1 0 0
0 0 1 0
43 03
.
❖行最简形矩阵与线性方程组的解
因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2 x1
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
与
x3 x2 x3
4
x4
3 3
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
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❖矩阵初等变换举例
~ 21
1 1
1 2
1 1
42
r1r2 r32
1 2
1 1
2 1
1 1
4 2
43
6 6
2 9
2 7
94
2 3 1 1 2 3 6 9 7 9
~ ~ r2r3
r32r1
1 0
1 2 2 2
1 2
4 0
r22 r35r2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①2②
①2②
3x2 3x3 x4 6
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7x421 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B3
0 1 4 3
例如
设
A 103
0 1 1
112
则有
~~~ A
A103
103101101112112rc11c1r222cc33103
51 02 50 1 21 11
112
3 AE3(31(2)) 10
0 1 1
112102
0 1 0
100
552
0 1 1
112 .
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❖定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个mn矩阵. 对A施行一次初等行变换 相当于在
E(i(k))表示用非零数k乘单位矩 阵E的第i行(列)得到初等矩阵.
E(i j)1E(i j)
E(i(k))1 E(i(1)) k
E(ij(k))1E(ij(k)).
E(ij(k))表示把单位矩阵E的第j
行的k倍加到第i行上 或把单位矩阵
E的第i列的k倍加到第j列上得到初
等矩阵.
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❖定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用 ) 设A是一个mn矩阵. 对A施行一次初等行变换 相当于在
A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
例如
设
A 103
0 1 1
112
则有
~~~ A
A103
103101101121112rr11rr12rr22103
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
显然 交换B的第1行与第2行即得B1.
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❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
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❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
2231
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
9224
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2.
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0 0
其解为
xx21
x3 x3
4 3
其 x3 为自由未知数.>>>完整解题过程
x4 3
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❖矩阵初等变换举例
~ ~ 21
1 1
1 2
1 1
42
43
6 6
2 9
2 7
94
r
0001
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 1 0
0043
r
01 00
0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
43 03
.
❖行最简形矩阵与线性方程组的解
所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应
的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性
方程组是最简单的 而且是最容易求解的.
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§3.2 初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算 这有着广泛的应用.
0 0 0 0 0
可以证明 对于任何矩阵A 总可经过有限次初等行变换
把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.
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❖矩阵初等变换举例
~ ~ 21
1 1
1 2
1 1
42
43
6 6
2 9
2 7
94
r
0001
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 1 0
0043
r
01 00
0 1 0 0
4 0
r43r1
0 5 0 3
5 3 6 3 4 3
r43r2
0 0
0 0
0 2 6 0 1 3
~ ~ r3r4
r42r3
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r1r2 r2r3
1 0
0 1 1 1
0 0
4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 20 06
0 0 0 0 0
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