高考数学讲座——函数
主讲：奉贤中学 宋林荣
函数是中学数学最重要的内容之一（三大板块内容之一），是高中数学教材的一条主线，是历年高考命题的重点。

函数的概念是以集合为基础，也是学习高等数学的基础。

函数的主要．．内容：函数的概念（三个要素：定义域、值域和对应法则）、基本初等函数的性质和图像。

其中包括了三角函数和反三角函数，数列实质上也是函数，只是定义域为正整数集或正整数集的子集。

学习中，要求掌握的函数具体内容有：函数的定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数、和（积）函数，以及相关的具体函数的图像及性质。

研究函数，主要从定义、图像、性质三方面加以研究。

高考相关内容点击： 一、函数与反函数
【例题1】 已知xy 0<，而且2
2
4x 9y 36-=。

由此能否确定一个函数关系y f (x)=？如果能，
求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由。

【例题2】下列各对函数中，相同的是（ ） （A ）2
f (x)l
g x =和g(x)2lg x = （B ）x 1
f (x)lg
x 1
+=-和g(x)lg(x 1)lg(x 1)=+--
（C ）f (s)=
g(t)= （D ）f (x)x =和g(x)=【例题3】求下列函数的反函数：（1）2
y x 2x(x 1)=-≥；（2）x x
21
y (x 0)21
+=<-。

【例题4】下列函数中，反函数为其自身的函数是（ ） （A ）2
f (x)x ,x [0,)=∈+∞ （B ）3
f (x)x ,x (,)=∈-∞+∞
（C ）x
f (x)e ,x (,)=∈-∞+∞ （D ）1
f (x),x (0,)x
=∈+∞ 【例题5】函数x 3f (x)2x 1
+=
-，函数g(x)是函数1
y f (x 1)-=+的反函数，求g(3)的值。

二、函数的定义域与值域（最值） 【例题6】（1）已知函数x
x f -=
11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，求
M N 。

（2
）函数2()f x =的定义域为 。

【例题7
】求函数f (x)=
【变式题】求函数f (x)=定义域和值域。

【例题8】设1x
f (x)tx (t 0)t
-=+>，g(t)是f (x)在x [0,1]∈上的最小值，求g(t)的最大值。

三、和函数与积函数
【例题9】设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）
(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数
(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
四、函数的奇偶性与单调性
【例题10】（1）判断下列函数的奇偶性： ①x 2f (x)121=+-
；②g(x)|x 2|2
=+-。

（2）已知a 常数，函数x
2
f (x)a (x R)21
=-∈+为奇函数，求实数a 的值；
（3）已知(31)4,1()log ,1
-+<⎧=⎨
≥⎩a a x a x f x x x 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73
（D ）1[,1)7
【例题11】已知函数2
a
f (x)x (x 0,a R)x
=+
≠∈。

（1）当a 为何值时，函数f (x)为偶函数； （2）若函数f (x)在区间[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围。

【例题12】求下列函数的单调区间：（1）f (x)|x 1||2x 4|=-+-；（2）22x 1
f (x)x 1
+=-。

五、函数的对称性与周期性
【例题13】函数x 1
y x
+=的图像关于直线y x 1=-对称的图像为C ，求C 对应的函数的解析式。

【例题14】已知函数f (x)对任意的x R ∈，都有1
f (x)1f (x 2)
=-
+，且f (0)m(m 0)=>。

（1）
求f (2)、f (4)、f (6)的值；（2）求函数f (x)的一个周期并证明；（3）若f (1)1=，求8
f (27)
+的值。

六、函数图像变换与图像应用
【例题15】（1）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x
f (x)23=+的图像与函数g(x)的图像关于 对称，则函数g(x)= 。

（答案不唯一） （2）若函数f (x)a |x b |2=-+在区间[0,)+∞上是增函数，求实数a 、b 的取值范围。

【例题16】 方程x 2
+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x
的图像交点的横坐
标，若x 4
+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4
x i
)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x
的同侧，则实数a 的取值范围是 。

七、二次函数与分式函数
【例题17】已知函数2
f (x)x mx 2=++，x [1,2]∈-，求函数f (x)的最小值。

【例题18】已知函数2f (x)x ax a =--。

（1）若存在实数x ，使得f (x)0<，求实数a 的取值范围；（2）设g(x)|f (x)|=，g(x)在区间[0,1]上递增，求实数a 的取值范围。

【例题19】已知函数a 2
f (x)x x
-=+ （常数a R ∈）求f (x)在区间(0,3]上的最值。

八、含绝对值函数与分段函数 【例题20】画出函数2|log x|
1
f (x)2|x |x
=--
的大致图像。

【例题21】（1）设函数2x 1x 0f (x)2x
x 0⎧+≥=⎨<⎩，则1
f (10)-= 。

（2）设函数x 123x 0
f (x)lo
g x x 0
+⎧≤=⎨>⎩，若0f (x )3>，则0x 的取值范围是 。

【例题22】 对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩
⎨⎧≥b a b b
a a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是（ ）
(A)0 (B)
12 (C) 3
2
(D)3 九、复合函数与抽象函数
【例题23】求函数212
()log (2)=-g x x x 的单调递增区间。

【例题24】已知f x ()的定义域为R +
，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，
若f ()84=，则f (2)= 。

【例题25】已知)(x f y =定义域为+R ，且对任意的x 、+∈R y ，恒有)()()(y f x f xy f +=，1>x 时，0)(<x f 。

（１）求)1(f 的值，并证明)()1
(x f x
f -=；（２）求证：在)(1x f y -=的定义域内恒
有)()()(2111211x f x f x x f ---⋅=+。

十、函数的应用性问题与综合性问题
【例题26】已知函数)(x f 的图象与函数21
)(++=x
x x h 的图象关于点A （0，1）对称.（1）求函数)(x f 的解析式（2）若)(x g =)(x f +x
a
，且)(x g 在区间（0，]2上的值不小于6，求实数a 的取值范围。

【例题27】 某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为()2
2
1500x x x H -
=，其中x 是产品销售的数量（0≤x ≤500）。

（1）若x 为年产量，y 表示利润，求y=f(x)的表达式。

(2)当年产量为何值时，工厂的利润最大，其最大值是多少？（3）当年产量为何值时，工厂有盈利？
十一、函数存在性问题与恒成立问题
【例题28】已知函数2ax 1
f (x)(a,b,c R,a 0,b 0)bx c
+=
∈>>+是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)2
5
<
.（1）试求函数f (x )的解析式；（2）问函数f (x )图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标;若不存在，说明理由。

【例题29】设22)(2
+-=ax x x f ，)(R a ∈。

（1）当R x ∈时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取
值范围；（2）当),1[+∞-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围。

【例题30】已知函数)(t f 对任意实数y x ,都有3)2(3)()()(+++++=+y x xy y f x f y x f ，1)1(=f （1）若t 为自然数，试求)(t f 的表达式；
（2）若t 为自然数,且4≥t 时，m t m mt t f 3)14()(2+++≥恒成立，求m 的最大值。