二次函数一、选择题：1. 抛物线y (x2) 2 3 的对称轴是（）A. 直线x3B. 直线x 3C.D. 直线x2y直线 x22.二次函数 y ax2bx c 的图象如右图，则点M ( b, c )O x a 在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知二次函数 y ax2bx c ，且a0 ， a b c0 ，则一定有（）A. b24ac 0B. b24ac 0C. b24ac0D. b2 4 ac ≤04.把抛物线y x2bx c 向右平移3个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 y x23x 5 ，则有（）A. b 3，c 7B. b9 ， c 15yC. b 3，c 3D. b9 ， c 21O x5. 已知反比例函数y k 的图象如右图所示，则二次函数y 2kx 2x k 2的图象大致为x（）y y y yO xO x O x O x A B C D6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ax 2(a c)x c 与一次函数y ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）y y y yOx O x O x OxA B C D7. 抛物线y x2 2 x 3 的对称轴是直线（）A. x 2B.x 2C.8.二次函数 y(x 1) 22的最小值是（）A. 2B. 2C.9.二次函数 y ax 2bx c 的图象如图所x1 D. x11 D. 1y示，若M 4a 2b c N a b c ， P 4a b ，则（）-1O12xA. B. C. D.M0 ， N0， P0 M0 ， N0， P0M0，N 0，P 0 M 0，N 0，P 0二、填空题：10. 将二次函数y x2 2 x 3 配方成y( x h)2 k 的形式，则y=______________________.11.已知抛物线 y ax2bx c 与x轴有两个交点，那么一元二次方程 ax2bx c0 的根的情况是 ______________________.12.已知抛物线 y ax 2x c 与x轴交点的横坐标为1，则a c=_________.13.请你写出函数 y (x 1) 2与 y x2 1 具有的一个共同性质：_______________.14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线 x 4；乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：15.已知二次函数的图象开口向上，且与 y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式： _____________________.16.如图，抛物线的对称轴是 x 1 ，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是( 3,0)，则A点的坐标是 ________________.y1A BO1x16 题图三、解答题：1.已知函数 y x2 bx 1 的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当x 0时，求使 y≥2 的 x 的取值范围 .2.如右图，抛物线y x 2 5 x n 经过点 A(1, 0) ，与y轴交于点 B.（1）求抛物线的解析式；（2）P 是 y 轴正半轴上一点，且△ PAB是以 AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标 .yO A1x-1B3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间 t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系） .（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s （万元）与销售时间 t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到 30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元4. 卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分.在大桥截面 1:11000 的比例图上去，跨度 AB=5cm，拱高 OC=，线段 DE表示大桥拱内桥长， DE∥AB，如图（ 1）. 在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以 1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.（1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE与 AB 的距离 OM=，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： 2 ≈，计算结果精确到 1米） .C Cm DM E D MEc9.O OA BA B5cm（1）（ 2）5. 已知二次函数y ax2ax m 的图象交x轴于 A( x1, 0) 、B ( x2 ,0) 两点， x1x2，交y轴的负半轴与 C 点，且 AB=3，tan∠BAC= tan∠ABC=1.（1）求此二次函数的解析式；（2）在第一象限，抛物线上是否存在点 P，使 S△PAB=6 若存在，请你求出点 P 的．．．．．．坐标；若不存在，请你说明理由.提高题1.已知抛物线y x2bx c 与x轴只有一个交点，且交点为A(2, 0) .（1）求 b、c 的值；（2）若抛物线与 y 轴的交点为 B，坐标原点为 O，求△ OAB的面积（答案可带根号） .2.启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是 3 元，售价是 4 元，年销售量为10万件 .为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 2x7x7，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：10 1010（1）试写出年利润S（万元）与广告费 x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元（2）把（ 1）中的最大利润留出 3 万元做广告，其余的资金投资新项目，现有 6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项A B C D E F目每股（万元） 526468收益（万元）1如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于万元，问有几种符合要求的投资方式写出每种投资方式所选的项目 .3.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为 20m，如果水位上升3m 时，水面 CD的宽是 10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km（桥长忽略不计） . 货车正以每小时 40km 的速度开往乙地，当行驶 1 小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点 O 时，禁止车辆通行） . 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米4.某机械租赁公司有同一型号的机械设备 40 套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为 270 元时，恰好全部租出 . 在此基础上，当每套设备的月租金提高10 元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等） 20 元，设每套设备的月租金为 x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益 =租金收入－支出费用）为 y（元） .（1）用含 x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求 y 与 x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为 4300 元和 350 元时，租赁公司的月收益分别是多少元此时应该租出多少套机械设备请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成y ( x b )24ac b 2的形式，并据此说明：2a4a当 x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大最大月收益是多少参考答案一、选择题：题号123456789答案D D A A D D D B D二、填空题：1.y ( x 1) 222. 有两个不相等的实数根3. 14.（1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5. 6.y 1 x28x 3 或 y 1 x28x 3 或 y 1 x28x 1 或 y 1 x28x 1 55557777y x2 2 x 1 等（只须a0 ， c0 ）7.(23, 0)8.x 3 ，1 x5，1，4三、解答题：1. 解：（1）∵函数y x 2bx 1 的图象经过点（3，2），∴93b 1 2 .解得 b 2 .∴函数解析式为y x2 2 x 1 .（2）当x 3 时，y 2 .根据图象知当x≥3 时， y≥2.∴当 x0 时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.2.解：（1）由题意得15n0 .∴ n 4 .∴抛物线的解析式为 y x 2 5 x 4 .（2）∵点 A 的坐标为（ 1，0），点 B 的坐标为(0, 4) .∴ OA=1，OB=4.在△OAB 中，，且点 P 在 y 轴正半轴上 .RtAB OA2OB 217①当 PB=PA时，PB17 .∴OP PB OB17 4.此时点 P 的坐标为(0, 174) .②当 PA=AB 时， OP=OB=4此时点 P 的坐标为（ 0，4）.3.解：（1）设 s 与 t 的函数关系式为s at2 c ，bta 1a b c 1.5,a b c 1.5,,21 t22t .由题意得 4a2b c2,或 4a2b c 2,解得 b2,∴ s 25a5b c 2.5；c0.c0.2（2）把 s=30 代入 s1 t2 2t ，得 301 t2 2t. 解得 t 110 ， t 26 （舍去）22答：截止到 10 月末公司累积利润可达到30 万元.（3）把 t7 代入，得 s1 72 2 7 10.5.2把 t8 代入，得 s1 82 2 8 16.21610.5 5.5 .答：第 8 个月获利润万元 .4. 解：（1）由于顶点在 y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为y ax 29.10因为点 A(5 , 0)或 B( 5 , 0) 在抛物线上，所以 0 a ·( 5 )29，得 a18.2 2210125因此所求函数解析式为y18 x 2 9 （5≤ ≤5 ）.1251022（2）因为点 D 、E 的纵坐标为9，所以918 9，得 x 5 2 .2020125104所以点 D 的坐标为 (52, 9 )，点 E 的坐标为 (52 , 9) .420420所以 DE5 2 (52)5 2 .442因此卢浦大桥拱内实际桥长为51100 0.01 275 2385 （米） .225.解：（）∵， x 1 x 2 ，∴ x 2 x 13 . 由根与系数的关系有 x 1x 21 .1 AB=3∴ x 11， x 2 2 .∴OA=1，OB=2， x 1 m2.·x 2a∵ tan BAC tan ABC1，∴OCOC 1.OA OB∴OC=2. ∴ m 2 , a 1.∴此二次函数的解析式为 yx 2x 2 .（ 2）在第一象限，抛物线上存在一点解法一：过点 P 作直线 MN ∥AC ，交交 y 轴于 N ，连结 PA 、PC 、MC 、NA.∵ MN ∥AC ，∴ S △ MAC =S △NAC = S △ PAC =6.由（ 1）有 OA=1，OC=2.P ，使 S △PAC =6.yx 轴于点 M ，NPAOBM xC∴1AM2 1 CN 1 6 . ∴AM=6，CN=12.22∴ M （5，0）， N （0，10）.∴直线 MN 的解析式为 y 2x 10 .由y 2 x 10,x 1 3 x 24,（舍去）y x 2x 2,得y 14； y 2 18∴在 第一象限，抛物线上存在点 P(3, 4) ，使 S △PAC =6.解法二：设 AP 与 y 轴交于点 D (0, m) （m>0）∴直线 AP 的解析式为 ymxm .y x 2 x 2,ymx m.∴ x 2 ( m 1) x m 2 0 .∴ x Ax Pm 1，∴ x Pm 2.又 S △ PAC = S △ ADC + S △PDC = 1·1·1CD AOCD x P =CD( AO x P ) .222∴ 1 2)(1 m 2) 6， m 25m 62∴ m 6 （舍去）或 m 1 .∴在 第一象限，抛物线上存在点P(3, 4) ，使 S △PAC =6.提高题1. 解：（1）∵抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴只有一个交点，∴方程 x 2bx c 0 有两个相等的实数根，即 b 2 4c 0 . ①又点 A 的坐标为（ 2，0），∴ 4 2b c 0 . ②由①②得 b4 ， a 4 .（2）由（ 1）得抛物线的解析式为 yx 2 4 x4 .当 x 0 时， y 4 . ∴点 B 的坐标为（ 0，4）.在 Rt △OAB 中， OA=2，OB=4，得 AB OA 2OB 22 5 .∴△OAB 的周长为1 4 2 5 6 2 5.2. 解：（1）S 10 (x27x7) (4 3)x x2 6 x7 .101010当 x634(1)7 622 (1)时， S最大4(1)16.∴当广告费是 3 万元时，公司获得的最大年利润是16 万元.（2）用于投资的资金是16 3 13万元 .经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E各一股，投入资金为 5 2 613（万元），收益为++=（万元）>（万元）；另一种是取 B、D、E 各一股，投入资金为2+4+6=12（万元） <13（万元），收益为 ++=（万元） >（万元） .3.解：（）设抛物线的解析式为y ax2，桥拱最高点到水面 CD的距离为 h 米，则D (5,h) ，1B (10, h3) .∴ 25a h,解得a1,25100a h 3.h 1.∴抛物线的解析式为 y1x 2.25（2）水位由 CD处涨到点 O 的时间为 1÷=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提高到x 千米 / 时，当 4x40 1280时， x 60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60 千米/时.4. 解：（1）未出租的设备为x 270套，所有未出租设备的支出为( 2x 540)元.10（2）y (40x 270) x( 2x540) 1 x265x 540.1010∴ y 1 x265x540.（说明：此处不要写出x 的取值范围）10（3）当月租金为300 元时，租赁公司的月收益为11040 元，此时出租的设备为 37 套；当月租金为350 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时出租的设备为32 套.因为出租应选择出租37 套和 32 套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，32 套；如果考虑市场占有率，应选择出租37 套 .（4）y 1 x 265x5401(x325) 211102.5 .1010∴当 x 325 时，y有最大值.但是，当月租金为325元时，租出设备套数为，而不是整数，故租出设备应为 34 套或 35 套. 即当月租金为为 330 元（租出 34 套）或月租金为320 元（租出 35 套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100 元.。