曲线运动复习提纲
曲线运动是高中物中的难点，由于其可综合性较强，在高考中常常与其他章节的知识综合出现。

因 此，在本章中，弄清各种常见模型，熟悉各种分析方法，是高一物理的重中之重。

以下就本章中一些重、难点问题作一个归纳。

一、 曲线
运动的基本概念中几个关键问题
① ② ③ ④
二、 运动的合成与分解
① 合成和分解的基本概念。

合运动与分运动的关系：
① 分运动具有独立性。

② 分运动与合运动具有等时性。

③ 分运动与合运动具有等效性。

④ 合运动运动通常就是我们所观察到的实际运动。

运动的合成与分解包括位移、速度、加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则。

几个结论：①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。

②两个直线运动的合运动，不
线运动（如平抛运动）。

③两个匀变速直线运动的合运动， ② 船过河模型
（1） 处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实 际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动 （水
冲船的运动）和船相对水的运动，即在静水中的船的 运动（就
是船头指向的方向），船的实际运动是合运 动。

（2） 若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间：
t 卫
V | sin
（3）若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间
因为在垂直于河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。

③绳端问题
绳子末端运动速度的分解， 按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。

例
如在右图中，用绳子通过定滑轮拉物体船，当以速度 v 匀速拉绳子时，求船
的速度。

船的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：
a ）沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。

即为
b ）垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。

这样就可以求得船的速度为
曲线运动的速度方向：曲线切线的方向。

曲线运动的性质：曲线运动一定是变速运动，即曲线运动的加速度 a z 0。

物体做曲线运动的条件：物体所受合外力方向与它的速度方向不在同一直线上。

做曲
线运动的物体所受合外力的方向指向曲线弯曲的一侧。

定是直
，定是直线运动。

定是匀变速运动，但不
d
—（d 为河宽）。

V i
_^,当船向左移
cos
乙引
甲
动，a将逐渐变大，船速逐渐变大。

虽然匀速拉绳子，但物体④平抛运
A却在做变速运动。

动
1.运动性质
a）水平方向：以初速度V。

做匀速直线运动.
b）竖直方向：以加速度a=g做初速度为零的匀变速直线运动，即自由落体运动. c）在水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性.
d）合运动是匀变速曲线运动.
2
•平抛运动的规律
以抛出点为坐标原点，以初速度v o方向为x正方向，竖直向下为y正方向，如右图所示，则有:
②斜面上的平抛问题：从斜面水平抛出，又落回斜面经历的时间为：
三、圆周运动
1•基本公式及概念
1）向心力：
定义：做圆周运动的物体所受的指向圆心的力，是效果力。

方向：向心力总是沿
半径指向圆心，大小保持不变，是变力。

★匀速圆周运动的向心力，就是物体所受的合外力。

★向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分
力
★匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力,
分速度v
x
V°,V y gt
合速度 2 2
g
g
V o
分位移vt,y 1
gt2
2a
合位移
★注意：合位移方向与合速度方向不一致
3.平抛运动的特点
a）平抛运动是匀变速曲线运动，故相等的时间内速度的变化量相等.由△ 直方
向，如下图所示.
v=gt，速度的变化必沿竖
任意两时刻的速度，画到一点上时，其末端连线必沿竖直方向，且都与
b）物体由一定高度做平抛运动，其运动时间由下落高度决定，与初速度无关.
v构成直角三角形.
h 0。

可
由公式
2h,落地点距抛出点的水平距离x v o t由水平速度和下落时间共同决定。

4 •平抛运动中几个有用的结论
①平抛运动中以抛出点0为坐标原点的坐标系中任一点P（x、y ）的速度方向与竖直方向的夹角为a,则
tan
x
2y
；
其速度的反向延长线交于
x g
x轴的一处。

2
Wotag
g
向心力大小不变，方向始终
V M
与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件。

★变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心. 合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，
改变速度的方向.合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。

2)运动参量:
线速度：V X
X2 R/T t
角速度：/t 2 /T
周期(T)频率⑴T丄f
向心加速度: 2 v a 2 2 2 2r (2)2r
r T
向心力： 2 2 2 2
F ma mv / r m r m(一) r
2.竖直平面内的圆周运动问题的分析方法
竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题, 中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况。

在最高点和最低点，合外力就是向心力。

(1)如右图所示为没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运
动的向心力。

2
即mg m Vo- r
式中的v o小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度v0. gr
②能过最高点的条件：v>v o，此时绳对球产生拉力F
③不能过最高点的条件：v<v o，实际上球还没有到最高点就脱离了轨道。

(2)有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周
运动的情况：
①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v o= 0
②右图中(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况：
当0<v< gr，杆对小球的支持力的方向竖直向上。

当v = gr , F N =0。

当v> gr时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度
大而增大.
③右图(b)所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况与硬杆对小球的弹力类似。

3.对火车转弯问题的分析方法
在火车转弯处，如果内、外轨一样高，外侧轨道作用在外侧轮缘上的弹力F'指向圆心，使火车产生
向心加速度，由于火车的质量和速度都相当大，所需向心力也非常大，则外轨很容易损坏，所以应使外轨高于内轨.如右图所示，这时支持力N不再与重力G平衡，它们的合力指向圆心.如果外轨超出内轨
高度适当，可以使重力G与支持力的合力，刚好等于火车所需的向心力.
另外，锥摆的向心力情况与火车相似。

4.离心运动
①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想切线方向
运动，只足由于向心力作用，使它不能线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如下图所示.
②当产生向心力的合外力消失，F=0,物体便沿所在位置
切线方向飞｝11去，如右图A所示.
③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力,
供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动.如右图B所示.的
卜严门好环|,即合外力不足提。