轴向拉伸与压缩习题及解答计算题1：利用截面法，求图2. 1所示简支梁m — m 面的内力分量。

解：（1）将外力F 分解为两个分量，垂直于梁轴线的分量F sin θ,沿梁轴线的分量F cos θ. (2)求支座A 的约束反力：xF∑=0，AxF∑=cos F θB M ∑=0, Ay F L=sin 3L F θAy F =sin 3Fθ (3)切开m — m ，抛去右半部分，右半部分对左半部分的作用力N F ，S F 合力偶M 代替 （图1.12 ）。

图 2.1 图2.1(a) 以左半段为研究对象，由平衡条件可以得到xF∑=0， N F =—Ax F =—cos F θ（负号表示与假设方向相反）y F ∑=0， s F =Ay F =sin 3Fθ 左半段所有力对截面m-m 德形心C 的合力距为零sin θC M ∑=0， M=AyF 2L =6FL sin θ 讨论 对平面问题，杆件截面上的内力分量只有三个：和截面外法线重合的内力称为轴力，矢量与外法线垂直的力偶距称为弯矩。

这些内力分量根据截面法很容易求得。

在材料力学课程中主要讨论平面问题。

计算题2：试求题2-2图所示的各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

解 （a ）如图（a ）所示，解除约束，代之以约束反力，作受力图，如题2-2图（1a ）所示。

利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在题2-2图（1a ）中。

作杆左端面的外法线n ，将受力图中各力标以正负号，凡与外法线指向一致的力标以正号，反之标以负号，轴力图是平行于杆轴线的直线。

轴力图在有轴力作用处，要发生突变，突变量等与该处轴力的数值，对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，如题2-2图（2a ）所示，截面1和截面2上的轴力分别为1N F =F 和2N F =—F 。

(b)解题步骤与题2-2（a ）相同，杆受力图和轴力图如题2-2（1b ）、（2b ）所示。

截面1和截面2上的轴力分别为1N F =2F ，2N F =0。

(c)解题步骤与题2-2（a ）相同，杆的受力图和轴力图如题2-2图（1c ）和（2c ）所示。

截面1上的轴力为1N F =2F,截面2上的轴力为2N F =F 。

（d ）解题步骤与题2-2（a ）相同，杆的受力图和轴力图如题2-2图（1d ）和（2d ）所示。

截面1上的轴力为1N F =F,截面2上的轴力为2N F =—2F 。

计算题3：试求题2-3图（a ）所示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和3-3上的轴力并作轴力图。

若横截面积1A =2002mm 、2A =3002mm 、3A =4002mm ，求各截面上的应力。

解：如题2-3图（a ）所示。

首先解除杆的约束，并代之以约束反力，作受力图，如题2-3（b ）所示。

利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。

作杆左端面的外法线n ，将受力图中的各外力标以正负号：凡指向与外法线方向相同者，标以正号，反只标以负号，如题2-3图（b）所示。

作轴力图，轴力图是与杆轴平行的直线，在有轴向外力作用处，轴力图要发生突变，突变量等于对应处外力数值，对应于正的外力，轴力图上跳，对应于负的外力，轴力图下跌，上调和下跌量与对应的外力数值相等，如题2-3图（c）所示。

由周力图可知，截面1-1上的轴力1N F =—20kN,截面2-2上的轴力2N F =—10kN ，截面3-3上的轴力3N F =10kN 。

各截面上的应力分别为11σ-=3161201010020010N F Pa MPa A --⨯==-⨯22σ-=3262101033.3330010N F Pa MPa A --⨯==-⨯ 33σ-=336310102540010N F Pa MPaA -⨯==⨯计算题4：三脚架结构尺寸及受力如图所示。

其中22.2p F kN =，钢杆BD 的直径125.4d mm =，钢梁CD 的横截面积2A =322.3210mm ⨯。

试求：BD 与CD 横截面上的正应力。

解：1、受力分析， 确定各杆的轴力首先对组成三脚架结构的构件作受力分析，因为B 、C 、D 三处均为销钉连接，故BD 与CD 均为二力构件，受力图如图所示。

由平衡方程 0xF=∑和0y F =∑解得二者的轴力分别为322.21031.40NBD p F N kN ==⨯=42202.010,4,4p F kNA m l m l P -==⨯=322.21022.2()NCD p F F N kN ==⨯=- 其中负号表示压力。

2、计算各杆的应力应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD 杆与CD 杆横截面上的正应力分别为 BD 杆：362261431.410()62.01062.025.4104NBD NBD BDF F BD Pa MPa d A σππ-⨯⨯====⨯=⨯⨯ CD 杆：3636222.210()9.75109.75()2.321010NCD NCD CD F F CD Pa MPa A A σ-⨯====⨯=-⨯⨯4545其中负号表示压应力。

计算题5：直杆在上部两侧面都受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度均为p =10kN/m;在自由端D 处作用有集中力20p F kN =。

一直杆的横截面面积422.010,4,A m l m -=⨯=试求：（1）A 、B 、E 三个横截面上的正应力；（2）杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。

解：1 、以竖直向下方向为正方向，以整个杆件为研究对象，假设A 处受力为拉力，竖直方向受 力平衡： 0yF=∑444420220010100.12104020100.2210p NA NB p BN B EN E lF P F F F F kPa A F kPa MPa A σσ--+-=-====⨯=⨯===⨯=⨯⇒NA F = 60kN446030100.3210NA A F kPa MPa A σ-===⨯=⨯ 以BD 段为研究对象，假设B 处受力为拉力0yF=∑ 0p BN F F -=⇒BN F =p F =20kN 442010100.1210NB B F kPa MPa A σ-===⨯=⨯ 以AE 段为研究对象，假设E 处受力为拉力0y F =∑ 20404ENNA EN lF P F F kN +-=⇒= 444020100.2210EN E F kPa MPa A σ-===⨯=⨯ 2、当02ly ≤≤时，20N NA F py F +-=⇒6020N F y =- ⇒max 60N F kN =当 2l y l ≤≤时，202N NA lF p F +-=20N F kN ⇒=-（负号表示压力）综上，当2l y =时，max 60N F kN =，max 460300.32.010N F kPa MPa A σ-====⨯计算题6：如图所示结构2-6（a ）中，1，2两杆的横截面直径分别为1210,20d mm d mm ==,10P kN =。

横梁ABC 、CD 视为刚体。

求两杆内的应力。

解：CD 杆的D 支座不受力，CD 也不受力，所以P 可视为作用于ABC 杆的C 端。

取ABC 为受力体，受力图如图2-6（b ）所示。

1210,20N N F kN F kN ==31126110104127.31010N F MPa MPa A σπ-⨯⨯===⨯⨯析 此题属静定问题，在分析杆CD 平衡时可知点D 的支反力00R =010R N =，即CD 杆完全不受力，仅在P 作用于ABC 杆时被其带动绕点D 作刚体转动。

所以只需对杆ABC 作静立分析即可求解。

计算题7：图市矩形截面杆，横截面上的正英里延截面高度线性分布，截面定点各点处的正应力均为max 100MPa σ=，底边各点处的正应力均为零。

试问杆件横截面上存在何种内力分量，并3222622010463.72010N F MPa MPa A σπ-⨯⨯===⨯⨯确定其大小。

图中之C电位截面形心。

解：横截面上只存在正的正应力，因此横截面上的内力为拉力F 。

在xoy 平面内，正应力沿高度线性分布关系为：10050y σ=-+（MPa ）0.50.50.50.50.50.50.4(10050)0.4F dA dy y dy σσ---===-+⎰⎰⎰=0.50.5(4020)y dy --+=⎰20MN计算题8：题2-8图（a ）所示是一混合屋架结构的计算简图。

屋架的上弦用钢筋混凝土制成。

下面的拉杆和中间的竖向撑杆用角钢构成。

已知屋面承受集度为20/q kN m =的竖直均布荷载。

求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。

(b )NGF解：（1）作受力图。

解除题2-8图（a ）所示屋架结构的约束，代之以支座反力，作受力图，如题2-8图（b ）所示。

（2）求支座反力。

利用静力学平衡方程0,0Ax xFF ==∑0,(4.3729)0yAy By FF F q =+-⨯+=∑210,(4.3729)(4.3729)02A ByM F q =⨯+-⨯+=∑及q=20kN/m ，可得 0Ax F =，177.4Ay By F F kN ==（3）计算拉杆EG 的轴力取半个屋架为分离体，作受力图，如题2-8图）（d ）所示。

由静力学平衡方程0C M =∑ 212.2(4.37 4.5)(4.37 4.5)02NG AyF F q -+++=及177.4,20/Ay F kN q kN m ==得21(4.37 4.5)(4.37 4.5)2357.62.2Ay NGF q F kN +-+== （4）计算拉杆AE 的轴力取铰节E 为研究对象，作受力图，如题2-8图（d ）所示。

由静力学平衡方程0,cos 0xNG NA FF F α=-=∑及357.6NG F kN =，得367NA F kN ==（5）计算拉杆AE 和EG 横截面上的应力查表得75mm ⨯8mm 等边角钢的横截面积为211.503A cm =，所以拉杆AE 和EG 横截面上的应力3436710159.5211.50310NA AEF Pa MPa A σ-⨯===⨯⨯ 34357.310155.3211.50310NG BGF Pa MPa A σ-⨯===⨯⨯计算题9：题2-9图（a ）所示拉杆承受轴向拉力F=10kN ，干得横截面积A=1002mm 。

如以α表示斜截面与横截面的夹角，试求当0,30,45,60,90α=时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。

(e )F(c )F30°FF F(a )F F题2-9图解：拉杆横截面上的正应力36101010010010NF FPa MPaA Aσ-⨯====⨯应用斜截面上的正应力和切应力公式20cos,sin22αασσσατα==可得3075,MPaσ=4550,MPaσ=6025,MPaσ=90σ=0,τ=3043.3,MPaτ=4550,MPaτ=6043.3,MPaτ=90τ=它们的方向分别表示在题2-9图（b）、(c)、(d)、(e)、(f)中。