（人教版）高中数学必修一（全册）精品导学案汇总第一章§1.1.1 任意角【学习目标】1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.【学习重点】任意角的概念，终边相同的角的表示.【知识链接】问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？【基础知识】一、任意角的概念1．任意角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,270等等.说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线. 二、终边相同的角的集合由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同. 从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.三、等分角若α是第三象限角，那么2α是第几象限角？你能用作图表示吗？规律是什么？【例题讲解】例1 在0与360范围内，找出与/12950-终边相同的角，并判断它们是第几象限角？例2 写出终边在y 轴上的角的集合.例3 写出终边在直线x y =上的角的集合S ，并把S 中适合不等式0720360-<≤β的元素β写出来.例4如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．说明：区间角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始、终止边界对应的0°到360°范围内的角α，β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}；(3)再加上起始、终止边界对应角α，β出现的k 倍的周期，即得区间角的集合． 【达标检测】1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？2. 下列命题正确的是： （ ）（A ）终边相同的角一定相等。
（B ）第一象限的角都是锐角。
（C ）锐角都是第一象限的角。
（D ）小于090的角都是锐角。
3. 若α是第一象限的角，则2α-是第 象限角。
4.一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．5.集合M ＝{α=k o90⋅，k ∈Z}中，各角的终边都在（ ） A ．轴正半轴上， B ．轴正半轴上，C ． 轴或 轴上，D ． 轴正半轴或轴正半轴上6.设，C ＝{α|α= k180o+45o,k ∈Z} ，则相等的角集合为_ _．7.将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表示出来（包括边界）.8.角α,β的终边关于0=+y x 对称,且α=-60°，求角β.yO13530xyO13560【问题与收获】达标检测参考答案1. 解：2小时40分=38小时，00960-38360=⨯- 故分针走过的角为-96002. C3. 二或四4.5. C6. _B ＝D ，C ＝E第一章 1.1.1.柱.锥.台.球的结构特征【学习目标】1.知道空间几何体的概念及其含义，了解空间几何体的分类及相关概念． 2．了解棱柱、棱锥、棱台的定义，知道这三种几何体的结构特征，给出几何体能够识别和区分.【学习重难点】重点：认识空间几何体的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
【知识链接】小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧!【基础知识】探究1：多面体的相关概念问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗?新知1：多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．探究2：旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.在如下图的旋转体中标注出轴。
探究3：棱柱的结构特征问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的共公边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）试试1：你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）. 探究4：棱锥的结构特征问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？新知5：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S ABCDE -.探究5：棱台的结构特征 问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢?新知7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做O '/O A/A棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.试试2：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.反思：1.根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？2.多面体与旋转体的主要区别是什么？提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．3.如何识别棱柱？提示：判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面是平行四边形；③这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．这3个特征缺一不可，如右图所示的几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，但不具备特征③，故不是棱柱．例题讲解例1．如图所示的几何体中棱柱的个数为(c )A．1 B．2 C．3 D．4变式迁移1.下列说法正确的是(D)A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形例2．判断下列说法正确的是：（1）（3）(1)棱锥的各侧面都是三角形；(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；(3)四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；(4)棱锥的各侧棱长相等．变式迁移2 判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；√(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形一定和底面三角形相似．√例3下列四个几何体中，是棱台的为( c)例4．有两个面平行的多面体不可能是( B)A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．以上都错【达标检测】1.六棱台有_6_______个侧面，______12__个顶点，_____6___条侧棱．2.如图3，过BC的截面截去长方体的一角，使EF∥B′C′，所得几何体是不是棱柱？为什么？解：是棱柱．理由如下：该长方体截去一角后，所得几何体的面ABEA′与面DCFD′是平行的两个面，其余各面都是四边形，且AD∥BC∥EF∥A′D′，故该几何体是棱柱．3.判断如图6所示的几何体是不是棱台？为什么？解：①②③都不是台体．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是台体，虽然②是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体，只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体．※学习小结1. 多面体、旋转体的有关概念；2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质.※知识拓展1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.【问题与收获】第一章 §1.1.2 弧度制【学习目标】1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.【学习重点】理解弧度制的概念，能用弧度制表示角，并能进行角度与弧度的换算. 【基础知识】1. 弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度，记做1rad. 2.角度制与弧度制的换算：∵ 360︒=2π rad, ∴180︒=π rad. ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π.'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .3.公式：α⋅=r l . 4扇形面积公式 lR S 21=,其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径. 注意几点：1.在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略,如：3表示3rad ，sin π表示πrad 角的正弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合 实数集R【例题讲解】例1、把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒oR Sl正角 零角 负角正实数 零 负实数变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度： （1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1）12π （2）—34π （3）103π例3 已知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积.【达标检测】1．若α＝5 rad ，则角α的终边所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( )A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B ．ππ+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ZC ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D ．π2π+,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z3．圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A ．π4 B ．π2 C ．2 D ．2 4．2π5化成角度为__________．5．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为__________． 6.在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。