大作业一
积分电路的讨论
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2013年11月10日
关于RC 积分电路的深入讨论：
在输入为周期性单向方波脉冲信号的激励下。

讨论积分电路的特性。

1） 理论推导稳态时输出电压平均值与输入电压平均值的关系；
2） 设2ms T =，11ms t =，m 10V U =，讨论电路从零初始值过渡到稳态所需时间与RC 参数之间的关系。

绘制出
变化曲线。

可选择做计算机仿真分析。

3） 讨论在时间常数τ相同，不同的R 、C 取值（比如10k Ω/1F μ的组合，与10Ω/1000F μ的组合）之间有何分
别？
答案：
1）电路处于稳态时，输出端电压变化为下图粗线，输入电压的变化为下图细线。

图1 输出端电压和输入电压的变化图像
在电路处于稳态时选择一个起始时间零点，不妨设t 1=T/2。

假设在时间零点，输出电压为u 0。

则在0~t 1时间内，输出端电压u 2对时间t 的函数为τ
t
m m e
U u U u -
⨯-+=)(02
在0~t 1时间内对u 2积分得)1()(2])([202
01-⨯-⨯-⨯=⨯-+=--⎰τττT
m m T t
m m e U u U T
dt e U u U I 。

t 1时刻输出端电压为τ
20)(T
m m e
U u U -⨯-+。

t 1~T 时刻输出端电压u 2对时间t 的函数为τ
τ
2
202])([T t T m m e
e U u U u --
-⨯⨯-+=。

在t 1~T 时间内对u 2积分得
)1(])([])([2202
2
202-⨯⨯-+⨯-=⨯⨯-+=-
-
-
-
-⎰τ
τ
τ
τ
τT T m m T
T T t T m m e
e
U u U dt e
e
U u U I 。

T 时刻输出电压为τ
τ
2201])([T T m m e
e
U u U u -
-
⨯⨯-+=。

由电路达到稳态可得10u u =，即τ
τ
2200])([T T m m e e U u U u --⨯⨯-+=，解得τ
τ
τ
T
T
m T m e
e
U e
U u --
-
-⨯-⨯=
120。

输出端电压在一个周期的平均值为])([)1(22002212ττ
τT
m T
m e U u u e T
U T I I u --⨯-+⨯-⨯-=+=。

输入电压在一个周期内的平均值为2
21m m U T T
U u =⨯
=
二者关系为τ
τ
τ
200212)([)1(T
m T e
U u u e
T
u u --
⨯-+⨯-⨯-
=。

将τ
τ
τ
T
T
m T m e
e
U e
U u ---
-⨯-⨯=
120代入上式得12u u =。

即稳态时输出电压平均值与输入电压平均值相等。

2）在OrCAD Pspice 中绘制如下电路图：
图2 Pspice 电路图
仿真出电源V1两端电压和电容C1两端电压随时间的变化曲线如下图：
图3 RC 为10ms 的仿真结果
图3中上方图像为电源两端电压，下方图像为电容两端电压，仿真时间为60ms 。

由仿真结果可以看出，A1点坐标为（57.021,5.2230），A2点坐标为（59.021,5.2258）两者相对差值为
（5.2258-5.2230）/ 5.2230=0.0536%。

此时即可以认为60ms 时电路已经达到稳态。

此电路的时间常数τ=RC=10ms,即电路从零初始值过渡到稳态所需时间t 稳=6τ=6RC 。

更改R 、C 取值，使其组合为F k μ1/20Ω，τ=20ms 。

仿真出电容C1两端电压随时间的变化曲线如下图：
图4 RC 为20ms 的仿真结果
由仿真结果可以看出，A1点坐标为（101.012，5.0907），A2点坐标为（103.013,5.0934），两者相对差值为 （5.0934-5.0907）/ 5.0907=0.0530%。

此时即可认为104ms 时电路已经达到稳态。

此电路的时间常数τ=RC=20ms,即电路从零初始值过渡到稳态所需时间t 稳=5.2τ=5.2RC 。

综合上述讨论可以得出结论，电路从零初始值过渡到稳态所需时间t 稳的范围为5RC~6RC 。

3）下图分别为10k Ω/1F μ的组合，与10Ω/1000F μ的组合所对应的电容两端电压值变化的仿真图像
图5
10k Ω/1F μ组合的电容电压仿真结果
图6 10Ω/1000F
从仿真结果可以看出，15ms时，两种组合的电压值均为4.1900V；55ms时，两种组合的电压值均为5.2304V。

这表明两种组合的所对应的电容电压值的变化规律是完全相同的。

讨论的结论为：在时间常数τ相同，不同的R、C取值对应的电容电压值变化规律之间没有分别。