追及与相遇问题.ppt
(2)第 1 s 内与前 6 s 内的位移之比 x1∶x6=12∶62 故前 6 s 内小球的位移 x6=36x1=18 m
(3)第 1 s 内与第 6 s 内的位移之比 xⅠ∶xⅥ=1∶(2×6-1),故第 6 s 内的位移 xⅥ=11xⅠ=5.5 m
答案 (1)6 m/s
(2)18 m (3)5.5 m
∵△x=x1-x2=v自t - at2/2 (位移关系) ∴ △x=6t -3t2/2 由二次函数求极值条件知
t= -b/2a = 6/3s = 2s时, △x最大 ∴ △xm=6t - 3t2/2= 6×2 - 3 ×22 /2=6 m
解法三 用相对运动求解更简捷 选匀速运动的自行车为参考系,则从运动开始到相距 最远这段时间内,汽车相对参考系的各个物理量为:
因为 x 人<x 车+x0 故人追不上车. 人和车的最小距离 Δx=x0+x 车-x 人=10 m+4 m-8 m=6 m
在一条平直的公路上,乙车以10m/s的速度匀速行驶,甲 车在乙车的后面做初速度为15m/s,加速度大小为0.5m/s2的 匀减速运动,则两车初始距离L满足什么条件时可以使: (1)两车不相遇; (2)两车只相遇一次; (3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动)
[要点提炼] 初速度为 0 的匀加速直线运动, 以 T 为时间单位下列比 例式成立: (1)T 末、2T 末、3T 末、„、nT 末的瞬时速度之比为:
1∶2∶3∶„∶n v1∶v2∶v3∶„∶vn=__________________
(2)1T 内、2T 内、3T 内、„、nT 内的位移之比为 x1∶x2∶x3∶„∶xn=12∶22∶32∶„∶n2
2
v1 at v2
1 2 v1t at v2t x0 2
(2)开始阶段,v 汽<v 自,两者距离逐渐变大.后来 v 汽>v 自,两者 距离又逐渐减小.所以当 v 汽=v 自时,两者距离最大. 设经过时间 t1,汽车速度等于自行车速度 at1=v 自, 代入得 t1=2 s 此时 x 自=v 自 t1=6 m/s× 2 s=12 m 1 2 1 x 汽= at1= × 3× 22 m=6 m 2 2 最大距离 Δx=x 自-x 汽=6 m
解题思路
分析两物体 运动过程 画运动 示意图 找两物体 的关系式 列方程 求解
1.在解决追及相遇类问题时,要紧抓“一图三式”, 即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关 系式,另外还要注意最后对解的讨论分析。
2.分析追及、相遇类问题时,要注意抓住题目中的关 键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚 好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临 界状态,满足相应的临界条件。
3.图象法:将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画 出,然后利用图象求解。
4.相对运动法:巧妙地选取参照系,然后找两物体的 运动关系。
(1)速度小者追速度大者
类型 匀加速追 匀速 匀速追匀 减速 匀加速追 匀减速 图象 说明
①t=t0以前,后面物体与前面 物体间距离增大 ②t=t0即速度相等时,两物体 相距最远为x0+x ③t=t0以后,后面物体与前 面物体间距离减小 ④能追及且只能相遇一次
(2)经过多长时间甲乙两车相遇? (3)试通过计算说明到达终点前甲车能否超过乙车?
(2)速度大者追速度小者
类型 图象 说明
匀减速 追 匀速
匀速追 匀 加速
匀减速 追 匀加速
开始追及时,后面物体与前面物体间 的距离 在减小,当两物体速度相等时,即 t=t0时刻: ①若x=x0,则恰能追及,两物体只 能相遇一次,这也是避免相撞的临界 条件 ②若x<x0,则不能追及,此时两物 体最小距离为x0-x ③若x>x0,则相遇两次,设t1时刻 x1=x0,两物体第一次相遇,则t2时 刻两物体第二次相遇
练一练、甲.乙两车在平直公路上比赛,某一时刻,乙车在甲车 前方L1=11 m处,乙车速度v乙=60 m/s,甲车速度v甲=50 m/s,此时乙车离终点线尚有L2=600 m,如图所示.若甲车加 速运动,加速度a=2 m/s2,乙车速度不变,不计车长.求:
(1)经过多长时间甲.乙两车间距离最大,最大距离是多少?
例3
一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间,
解:
汽车:
v汽 at 3t
1 2 3 2 x汽 at t 2 2
例3 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间,另一辆 以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边 通过.
(1)汽车一定能追上自行车吗?若能追上,汽车经多长时 间追上?追上时汽车的瞬时速度多大? (2)当v汽<v自时,两者距离如何变化? 当v汽>v自时,两者距离如何变化? 汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远?此时的 距离是多大?
汽车: 乘客:
v汽 at 2t
v人 4m / s
2 x人 vt 4t
汽
开始阶段 v 人>v 车,人和车的距离逐渐减小,设经过时间 t, 4 人和车的速度相等,即 at=v 人得 t= s=2 s 2
此时人和车相距最近 此过程:x人=vt=4×2 m=8 m
1 2 2 x汽 at t 4m 2
说明: ①表中的x是开始追及以后,后面物体因速度大而比 前面物体多运动的位移; ②x0是开始追及以前两物体之间的距离; ③t2-t0=t0-t1;
④v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度。
例 4
一辆汽车从静止开始以 2 m/s2 的加速度匀加速启
动,同时一乘客在车后 10 m 处以 4 m/s 的速度追车, 问人能否追上车?若能追上求追上的时间;若追不上 求人和车的最小距离. 1 2 2 解: x at t
t′=2t=4 s
v′ = 2v自=12 m/s
2.什么时候汽车追上自行车,此时汽车的 速度是多少?
解:汽车追上自行车时,二车位移相等(位移关系)
则 vt′=at′2/2 6×t′= at′2/2, t′=4 s v′= at′= 3×4=12 m/s
思考:若自行车超过汽车2s后,汽车才开始加速。那 么,前面的1、2两问如何?
解:
பைடு நூலகம்
汽车:
v汽 at 3t
v自 6m / s
乘客:
1 2 3 2 x汽 at t 2 2 x人 vt 6t
解析 (1)因为汽车做加速运动, 故汽车一定能追上自行车. 汽车 追上自行车时,两者位移相等,x 汽=x 自, 1 2 即 at =v 自 t, 2 2v自 2× 6 得:t= a = s= 4 s 3 v 汽=at=3× 4 m/s=12 m/s
由于图线与横坐标轴所包围的面积表 示位移的大小,所以由图上可以看出
v′
V汽
6
0
V自
t/s
t t′ 在相遇之前,在t时刻两车速度相等时, 自行车的位移(矩形面积)与汽车位移(三角形面积) 之差(即斜线部分)达最大,所以
t=v自/a= 6 / 3=2 s
1 1 s v自t t v自 6 2 2 6 6m 2 2 2)由图可看出,在t时刻以后,由v自线与v汽线组成的三 角形面积与标有斜线的三角形面积相等时,两车的位移相 等(即相遇)。所以由图得相遇时,
解法一 物理分析法
分析:汽车追上自行车之前, v汽<v自时 △x变大 v汽=v自时 △x最大 v汽>v自时 △x变小
两者速度相等时,两车相距最远。 (速度关系)
v汽=at=v自
∴ t= v自/a=6/3=2s
△ x=
v自t- at2/2=6×2 - 3 ×22 /2=6m
解法二 用数学求极值方法来求解 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远
初速度 v0= v汽初-v自=0 - 6= -6 m/s 末速度 vt= v汽末-v自=6 - 6= 0 加速度 a= a汽-a自=3 - 0= 3 m/s2 vt2 - v02 - 62 ∴ 相距最远 x= = =-6m 2× 3 2a
解法四
用图象求解
如图 v/(ms-1)
1)自行车和汽车的v - t 图象
三、追及和相遇问题
例3 一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间,另一辆 以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边 通过. (1)汽车一定能追上自行车吗?若能追上,汽车经多长时 间追上?追上时汽车的瞬时速度多大?
(2)当v汽<v自时,两者距离如何变化? 当v汽>v自时,两者距离如何变化? 汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远?此时的距离 是多大? (3)画出两车运动的v-t图象,并试着用图象法解上述两问题.
(3)画出两车运动的v-t图象,并试着用图象法解上述两问题.
(3) 两车运动的 v - t 图象如图所 示. ①由图知,若两车位移相等,即 v- t 图线与时间轴所夹的 “面积 ” 相等. 由图中几何关系知, 相遇时间为 t′ =4 s,此时 v 汽=2v 自=12 m/s.
②由图象分析知, t=2 s 前 v 汽<v 自, 两者距离逐渐增大, t=2 s 后,v 汽>v 自,两者距离又减小,当 v 汽=v 自时(t=2 s 时)两车距离最大, 最大距离为图中三角形面积(阴影部 分 ). 1 Δx= × 6× 2 m=6 m. 2
1、追及与相遇问题的实质: 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的
空间位置的问题。 2、理清三大关系: 时间关系、速度关系、位移关系。 3、巧用一个条件: 两者速度相等。它往往是物体间能否追上或 (两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析 判断的切入点。
解答追及、相遇问题常用的方法
1.物理分析法:抓好“两物体能否同时到达空间某位 置”这一关键,认真审题,挖掘题中的隐含条件,在头脑中 建立起一幅物体运动关系的图景。 2.数学分析法:设相遇时间为t,根据条件列方程,得 到关于t的方程(通常为一元二次方程),用判别式进行讨论, 若>0,即有两个解,说明可以相遇两次;若=0,说明刚 好追上或相遇;若<0,说明追不上或不能相碰。