b

A
n 是与 a, b 都垂直的向量
n?
方法指导:
①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量 n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量； ②在直线a、b上各取一点E、F，作向量EF；
③求向量EF在n上的射影d，则异面直线a、b间 的距离为
F n E b
a
四种距离的统一向量形式：
空间向量
高二数学备课组
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
专题一：
利用向量解决
空间角问题
•线线角 •线面角 •二面角 •小结
空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。
•线面角 •二面角 •小结
•线线角
题型二：线面角 题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2 A 思考： n


B

O
n, BA 与的关系？
AB n cos n, AB |
•线面角 •二面角 •小结
结论： sin
| AP n | d n
A
l
P
d
O
n
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
三、平面到平面的距离
n
P
d
| AP n | d n

A
O
四、异面直线的距离
| AP n | d n
n
a
P
AP ?
|
•线线角
AB n
题型三：二面角
二面角的范围： n2 A n1 B O
[0, ]

n2

n1

cos


| cos n1, n2 |
n1 n2 n1 n2
•线线角
cos
| cos n1, n2 |
n1 n2 n1 n2
•小结

•线面角
关键：观察二面角的范围
•二面角
专题二：
利用向量解决 空间距离问题
高二数学备课组
Hale Waihona Puke 一、求点到平面的距离一般方法： 利用定义先作出过这 个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的 长度。
P
d

O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离：
如图，已知点P（x0,y0,z0）, 在平面 内任意取一点A（x1,y1,z1），
•线线角
•线面角
•二面角
•小结
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 C D 思考：

A

B
D1
CD, AB 与的关系？ DC, AB 与的关系？
结论： cos

| cos CD, AB |
P
n
一个法向量 n
A
n AP n AP cos 其中 n, AP
n AP AP cos , n
| n AP| d n

AP cos的绝对值就是点P到平面的距离。
也就是AP在法向量n上的投影的绝对值
二、直线到平面的距离
直线到平面的距离： | AP n | d 平面到平面的距离： n
异面直线的距离：
点到平面的距离：
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。