线性整数规划案例——钢管下料问题
生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小这种工艺过程，称为原料下料问题(cutting stock problem)。

按照进一步的工艺要求，确定下料方案，使用料最省，或利润最大，是典型的优化问题。

本节通过两个实例讨论用数学规划模型解决这类问题的方法。

钢管下料问题: 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。

从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19米长。

现有一客户需要50根4米长、20根6米长和15根8米长的钢管。

应如何下料最节省？
问题分析I：
首先，应当确定哪些切割模式是可行的。

所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。

例如，我们可以将19米长的钢管切割成3根4米长的钢管，余料为7米；或者将19米长的钢管切割成4米、6米和8米长的钢管各1根，余料为1米。

显然，可行的切割模式是很多的。

其次，应当确定哪些切割模式是合理的。

通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大
于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。

例如，将19米长的钢管切割成3根4米的钢管是可
行的，但余料为7米，可以进一步将7米的余料切割成4米钢管（余料为3米），或者将7
米的余料切割成6米钢管（余料为1米）。

在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如
表1所示。

表1 钢管下料：19米长钢管的所有切割模式
问题分析II ：
还有，问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。

而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小；二是切割原料钢管的总根数最少。

这两个目标并不一致。

下面将对切割后剩余的总余料量最小这个目标为例进行讨论。

模型建立：
（1）决策变量：用x i 表示按照第i 种模式（i =1, 2, …, 7）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。

（2）决策目标：以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表1可得
765432113333x x x x x x x Z Min ++++++= (1)
或者以切割的钢管根数最少为目标，则由表1可得
11234567=++++++min Z x x x x x x x (1’)
（3）约束条件：为满足客户的需求，按照表1应有
5023454321≥++++x x x x x (2) 20326542≥+++x x x x (3)
152753≥++x x x (4) x 为整数 (5) 模型求解：在matlab2016a 的函数 intlinprog 下 求解
这就是最优解(即12次采用模式2，15次采用模式5.。