压电效应与压电方程
P3 E0 0 （4-8）
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根据（4-6）、（4-7）以及（4-8）式的结果，
可得到石英晶体的正向压电效应表示式用矩阵表
示为：
X1
P1 d11
P2
0
P3 0
d11 0 0
0 0 0
d14 0 0
0 d14
2
压电效应的基本现象
通俗来说:压电效应是指材料在压力作用下产生电 信号的效应;或者在电场作用下,材料发生机械形 变的现象。 压电效应有严格的定义，上述说法只是一个简单 直观描述。 压电效应由压电方程描写；材料的压电性由压电 常数决定。
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压电效应的基本现象
x
2
d
1
2
x3 x4
d 13 d 14
x x
5 6
d d
15 16
d 22 d 23 d 24 d 25 d 26
0 0 0 0
E E E
1 2 3
0
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从上式可以看出：
（1）对于石英晶体不是在任何方向上都存在逆压 电效应，只有在某些方向，在某些电场作用下， 才能产生逆压电效应。例如，当x方向电场分量E1 作用时，可产生压电形变x1和x2以及压电切应变 x4。又如当z方向电场分量E3作用时，晶体不会产 生任何形变。
P 2 E 0 ( d 2 5 X 5 d 2 6 X 6 ) ( d 1 4 X 5 2 d 1 1 X 6 )
（4-7） 即石英晶体的压电常数d25=-d14，d26=-2d11。
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当选z方向为电极面，重复上述实验，当电场 E=0时，应力张量X对z方向的极化强度分量P3 的贡献为：
0
0 2d11
0
X2 X3 X4 X5 X6
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在压电物理中常用电位移D代替极化强度P，当 电场E=0时，D=0E+P=P，电位移的三个分量： D1=P1，D2=P2，D3=P3。 将这些关系代入到（4-9）式，即得到用电位移 分量与应力分量表示的石英晶体正向压电效应
d11 d12 d13 d14 d15 d16 dd21 d22 d23 d24 d25 d26
d31 d32 d33 d34 d35 d36
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可见压电常数d的矩阵形式是一个三行六列矩阵，
即d是一个三级张量。一般情况下正压电效应的
表示式为：
X1
其中下标X表示应力张量X=0。
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（2）以y面为电极面，当晶片只受到y方向的电 场分量E2作用时，分别产生切应变x5和x6， 这些应变都与E2正比，即：
x5 X d25E2 d14E2 x6 X d26E2 2d11E1
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（3）以z面为电极面，当晶片只受到z方向的电 场分量E3作用时，晶片不产生任何形变。
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从以上两式式可以看出：
（1）对于石英晶体不是在任何方向上都存在压 电效应，只有在某些方向上，在某些力的作用下， 产生才能出现正压电效应。例如，在石英晶体x 方向，只有X1、X2、X4作用时，才能在x方向压 电效应，而X3、X5、X6不能在x方向压电效应。 在石英晶体的z方向，不论在什么方向作用多大 的力，都不能在z方向压电效应。
D1 d11
D2
d21
D3 E d31
d12 d22 d32
d13 d23 d33
d14 d24 d34
d15 d25 d35
d16 d26 d36
X2 X3 X4 X5 X6
的表示式为，
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D1 d11 d11 0 d14 0
D2
0
0 0 0 d14
D3 E 0 0 0 0 0
式中附标E表示电场强度E=0。
X1
0 2d11
0
X2 X3 X4 X5 X6
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综合上述实验结果得到，选x方向为电极面， 当电场E=0时，应力张量X对x方向的极化强度 分量P1的贡献为：
P 1E 0 (d 1 1 X 1 d 1 1 X 2 d 1 4 X 4 )
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当选y方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0 时，应力张量X对y方向的极化强度分量P2的贡献 为：
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（Fy/lwlt）为y方向的应力X2，于是有
P(2) 1
X2
即：
P(2) 1
d12X2
式中，P(2)1为晶片只受到y方向的应力X1作用 时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数 d12也称为压电常数。
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实验上还发现当X1=X2时，存在P(2)1= -P(1)1， 由此可得d11=-d12，即石英晶体的压电常数d12 的大小等于压电常数d11的负值。
压电效应与压电方程
Piezoelectric effect Piezoelectric equations
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主要内容
压电效应的基本现象 石英晶体的压电效应，压电方程组 压电常数与对称性 压电晶体的切割, 四类压电方程组，旋转坐标系， 次级压电效应，压电常数之间的关系 机电耦合系数
6
图4-1：—石英晶体属于六角晶 系32点群，它的坐标系o-xyz。
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光轴 电轴 机械轴
z轴与天然石英晶体的上、下顶角连线重合（即与 晶体的C轴重合）。因为光线沿z轴通过石英晶体 时不产生双折射，故称z轴为石英晶体的光轴。
x轴与石英晶体横截面上的对角线重合（即与晶体 的a轴重合），因为沿x方向对晶体施加压力时， 产生的压电效应最显著，故常称x轴为石英晶体的 电轴。
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因 为 （ q(1)1/llw ） 是 极 化 强 度 分 量 P(1)1 ； （Fx/llw）为x方向的应力X1，于是得到
P(1) 1
X1
即：
P(1) 1
d11X1
(4-1)
式中，P(1)1为晶片只受到x方向的应力X1作用时， 在x方向产生的极化强度分量，比例系数d11称为 压电常数。
晶体的介电常数、弹性常数与晶体的对称性密切 相关。 同样，压电常数也与晶体的对称性密切相关。因 此不是从压电晶体上随意切下一块晶片，就能做 压电元件，而是要根据该压电晶体的压电常数来 设计晶片的切割。
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正压电效应
当压电晶体受到外力而发生形变时，在它的 某些表面上出现与外力成线性比例电荷积累， 这个现象称为压电效应。 是一种线性响应！
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（2）逆压电常数与正压电常数相同，并且一一 对应。
（3）有正压电效应方向就有相应的逆压电效应。 晶体中那个方向上有正压电效应，则此方
向上一定存在逆压电效应。
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对于一般的情况，例如三斜晶系中的压电晶体， 它的逆压电效应用矩阵表示即为，
x1 d11 d 21 d 31
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（2）当晶片受到沿y方向的力Fy作用时，通过冲 击电流计，可测出在x轴方向电极面上的电荷 q(2)1 ， 并 发 现 x 方 向 电 极 面 上 的 电 荷 密 度 （q(2)1/llw）的大小与y方向单位面积上的力 （Fx/lwlt）成正比，因为（q(2)1/llw）是极化 强度分量P(2)1。
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（3）当晶片受到沿z方向的力Fz作用时，通过冲 击电流计，并发现x方向电极面上不产生电荷。 即有
P(3) 1
d13X3
0
(4-3)
因为X30，故压电常数d13=0。由此可见，对于 x切割的石英晶片，当z方向受到应力X3的作用时， 在x方向并不产生压电效应。
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或简写为：
D dX E
或：
6
D mE dm jX j; m 1 ,2 ,3 ; j1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 j 1
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逆压电效应 inverse effect
当晶体受到电场E的作用时，晶体产生与电场成 线性比例的畸变，这个现象称为逆压电效应。 逆压电效应的产生是由于压电晶体受到电场的 作用时，在晶体内部产生应力，这个应力常称 为压电应力。通过压电应力的作用，产生压电 形变。 仍以石英晶体为例说明如下。
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（1）选用石英晶体的x切割晶片，以x面为电极面。 当晶片只受到x方向的电场分量E1作用（应力张量 X=0）时，分别在x方向和y方向产生应变x1和x2 以及切应变x4，这些应变都与E1成正比，即
x1 X d11E1 x2 X d12E1 d11E1 x4 X d14E1
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（2）石英晶体的独立压电常数只有d11与d14 两个，它们的数值是：
d11=-2.3110-12库仑/牛顿， d14= 0.7310-12库仑/牛顿。
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对于一般的情况，例如属于三斜晶系1（C1）点 群的压电晶体是完全各向异性的，独立的压电常 数共有18个，用矩阵表示即为，
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（4）当晶片受到切应力X4作用时，通过冲击 电流计，可测出在x方向电极面上的面电荷 密度（q(4)1/llw）= P(4)1，并发现P(4)1与X2 成正，于是
P(4) 1
d14X4
(4-4)
式中， P(4)1为晶片只受切应力X4作用时，在x 方向产生的极化强度分量，比例系数d14称为 压电常数。
