k ( kx1 , kx2 ,, kxn1 ,0) W3
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
i (0,,0,1,0,0), i 1,2,, n 1
i
就是W3的一组基.
二、生成子空间
设V为数域P上的线性空间，1 , 2 ,, r V 由 1 , 2 ,, r 的一切线性组合所成集合记为W
方程组(1)的解空间W的维数＝n－秩(A)， A (aij )sn ；
且(1)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
例5
判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W1 {( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P } W2 {( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi P } W3 {( x1 , x2 , , xn1 ,0) xi P , i 1,2, , n 1}
无关组，则
L(1 , 2 , , s ) L( i1 , i2 , , ir )
定理4 设1 , 2 ,, n 为P上n维线性空间V的一组基， A为P上一个 n s 矩阵，若
( 1 , 2 ,, s ) (1 , 2 ,, n ) A
则 L( 1 , 2 ,, s ) 的维数＝秩(A).
即W {k11 k2 2 kr r ki P , i 1,2, , r }
称此子空间 则W关于V的运算作成V的一个子空间． 为V的由 1 , 2 ,, r 成的子空间，记作
L(1 , 2 ,, r )
称 1 , 2 ,, r 为 L(1 , 2 ,, r ) 的一组 生成元.
L(1 , 2 ,, r ) ， 可被 1 , 2 ,, r 线性表出，
从而可被 1 , 2 ,, s线性表出，即 L( 1 , 2 ,, s ),
L(1 , 2 ,, r ) L( 1 , 2 ,, s )
同理可得， L( 1 , 2 ,, s ) L(1 , 2 ,, r )
L(1 , 2 ,, r ) L(1 , 2 ,, t ).
由§3定理1，
1 , 2 ,, t 就是 L(1 , 2 ,, r ) 的一组基，
所以，L(1 , 2 ,, r ) 的维数＝t．
推论：设 1 , 2 ,, s 是线性空间V中不全为零
i1 , i2 , , ir ( r s ) 是它的一个极大 的一组向量，
由定义知，
①V的一个子空间如果包含向量组1 , 2 ,, r， 则一定包含由 1 , 2 ,, r 生成的子空间
1 , 2 ,, r ②设W为n维线性空间V的任一子空间，
是W的一组基，则有W L(1 , 2 ,, r ) 例如
i (0,,0,1,0,0), i 1,2,, n 在Pn 中，
线性子空间
一、线性子空间 二、生成子空间
一、引例 线性空间是线性代数最基本的概念之一。 并讨论它的一些 这一节我们来介绍它的定义， 最简单的性质。 线性空间也是我们碰到的第一 个抽象的概念。为了说明它的来源，在引入定义 之前， 先看几个熟知的例子。
例1 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维
向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W , k P , 有 k W
则W是V的一个子空间． 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证
W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
W2 , 故W2不是Pn的子空间.
下证W3是Pn的子空间.
首先 0 (0,0,,0) W3 , W3
其次， , W3 , k P , 设 ( x1 , x2 ,, xn1 ,0), ( y1 , y2 ,, yn1 ,0) 则有 ( x1 y1 , x2 y2 ,, xn1 yn1 ,0) W3
一、线性子空间
在通常的三维几何空间中， 一个通过原点的平面 上的所有向量对于向量的加法和数量乘法组成一个 二维的线性空间. 这就是说，它既是三维几何空间的 一部分，同时对于原来的运算也构成一个线性空间. 1、线性子空间的定义 设V是数域P上的线性空间，集合 W V (W ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．
由于 W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立． 由数乘运算 ∵ W ，∴ W . 且对 W， 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素，4）成立． 由加法封闭，有 0 ( ) W ,即W中的零元 就是V中的零元， 3）成立．
则对 i , i 1,2,, r , 有 i L( 1 , 2 ,, s )， 从而 i 可被 1 , 2 ,, s 线性表出；
同理每一个 i 也可被 1 , 2 ,, r 线性表出. 所以，1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, s 等价． 反之，1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, s 等价．
l1 ( , , , , ) 即 1 2 r j l 0, l r r 1 l 1 (1 , 2 , , n ) B j l 0 则有 l r r 1
l1 从而有 B j l 0 l r r 1
证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线 性无关，并将这r 列构成的矩阵记为A1,其余s-r列
构成的矩阵记为A2， 则A＝(A1, A2)，且
( 1 , 2 ,, r ) (1 , 2 ,, n ) A1 秩(A1)＝秩(A)＝r，
下证 1 , 2 ,, r 线性无关. 设 k11 k2 2 kr r 0, 即
②
又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即
k1 k2 kr 0,
1 , 2 ,, r 线性无关.
任取 j ( j 1,2,, s ),
将A的第 j 列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj ，则
( 1 , 2 , r , j ) (1 , 2 ,, n ) B j 设 l11 l2 2 lr r lr 1 j 0,
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间. 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 ① x1 x2 xn 0 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
1 (1, 1,0,,0), 2 (1,0, 1,0,,0), ,
k1 ( 1 , 2 ,, r ) 0, k r
k1 0 从而 (1 , 2 , , n ) A1 k r
1 , 2 ,, n 是V的一组基，
k1 A1 0 k r
故， L(1 , 2 ,, r ) L( 1 , 2 ,, s )
2）设向量组 1 , 2 ,, r 的秩＝t，不妨设
1 , 2 ,, t ( t r ) 为它的一个极大无关组．
所以, 因为 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 , , t 等价，
两组向量，则 L(1 , 2 ,, r ) L( 1 , 2 ,, s )
1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, s 等价． 2）生成子空间 L(1 , 2 ,, r ) 的维数
＝向量组 1 , 2 ,, r 的秩． 证：1）若 L(1 , 2 ,, r ) L( 1 , 2 ,, s )
子集合W {0} 是V的一个线性子空间，称之为V
的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． 例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,
则R[x]为V的一个子空间． 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间．
例4
n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 a x a x a x 0 s2 2 sn n s1 1
(1)
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子 空间，称W为方程组(1)的解空间．则有
i
故有 P n L( 1 , 2 ,, n ) 为Pn的一组基，
2 n1 P [ x ] L (1, x , x , , x ) 类似地，有 n
a0 a1 x an1 x n1 a0 , a1 , , an1 P


定理3 1）1 , 2 ,, r ；1 , 2 ,, s 为线性空间V中的
推论：V为数域P上的线性空间,W V (W ),
则W是V的子空间
, W , a , b P , a b W .
注：
① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也
有基与维数的概念.
② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数.
例1
设V为数域P上的线性空间，只含零向量的
注：
由证明过程可知，若1 , 2 ,, n 为V的一组基，
( 1 , 2 ,, s ) (1 , 2 ,, n ) A
则向量组 1 , 2 ,, s与矩阵A的列向量组具有相同 线性相关性. 所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯
阵来求向量组 1 , 2 ,, s 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间 L( 1 , 2 ,, s ) 的维数与一组基.