1 定义
设 f ( x, y) 是定义在矩形域 R(a x b, c y d ) 上的二元 函数, 当
x 取 [a, b] 上某定值时,函数
f ( x, y) 则是定义在 [c, d ]
上以 y为自变量的一元函数.若此时 f ( x, y)在 [c, d ]上可积,
则其积分值是 x 在 [a, b]上取值的函数,表为
I(x) f ( x, y)dy 在 [a, b] 上可微, 且 c d d d f ( x, y )dy f ( x, y )dy c x dx c
运算与积分运算可交换顺序。
同理：对于 J(y) f ( x, y )dx，在[c, d ]上可微，且
b d b f ( x , y )dx f ( x , y )dx a y dy a

0
cos x 1 1 dx 1 dx 0 1 cos x 1 cos x
1 1 dx 0 1 cos x
1 2 1 2 2 1 2 1
1
x I ( y ) dx 0 (1 x 2 )( 1 xy)
1
x y y 0 1 x 2 1 x 2 1 xy dx 1 ln 2 y ln (1 y ) 2 1 y [a, b]
c
d
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
类似地称
J ( y) f ( x, y) dx
a
b
为含参变量
y 的积分。
I ( y ) 是一个由含参变量的积分所确定的函数，
2. 性质 (i)、 连续性 :
若二元函数 f ( x, y) 在矩形域R(a x b, c y d ) 上连续, 则函数 I(x) f ( x, y)dy 在 [a, b] 上连续 c
a
b
与求积顺序无关.
例: 解:
求 I
b
1
0
xb x a dx (b a 0). ln x
b a x x 因为 x y dy , a ln x
所以 I dx x y dy.
0 a
1
b
由于函数x y 在R [0,1] [a, b]上满足可积性条件， 从而
再对
积分，得
2 1 1 C ln (1 1 2 ) C I ( ) ln ln 由于 I (0) 0 ，所以 C ln 2
从而
1 1 2 I ( ) ln 2
ln (1 x ) dx 例 求 I 2 0 1 x 1 ln (1 xy ) 解 考虑含参量的积分 I ( y ) dx 2 0 1 x x ln (1 xy ) y 的偏导数 及其关于 函数 (1 x 2 )(1 xy) 1 x2 都在矩形 [ 0,1; 0,1] 上连续，有
1
将上式两边关于 y 从 0 到 1 积分，得
1 ln 2 I (1) I (0) y ln (1 y ) dy 0 1 y2 2 4 1 ln (1 y ) ln 2 dy 2 0 4 1 y
1
因为
I (1) I
则 I ( x) 和 J ( y) 在 [a, b] 和 [c, d ] 可积, 且
dx
a
b
d
c
f ( x, y)dy dy f ( x, y)dx
c a
d
b
注 : 可积性说明在f ( x, y )连续的假设下,累次积分

b
a
dx f ( x, y )dy 与
c
d

d
c
dy f ( x, y )dx

1
0
x dy dx 1 xy
x dx dy 2 0 0 (1 x )( 1 xy) 1 1 x dy dx 0 0 (1 x 2 )( 1 xy)

8
ln 2
(iii )、 可积性 : 若二元函数 f ( x, y) 在矩形域R(a x b, c y d ) 上连续,
同理：若f ( x, y)在矩形域R上连续，则含参量y的积分
d
J(y) f ( x, y)dx在[c, d ]上连续。 a 注 : 由连续性，若f ( x, y)在矩形域R上连续，则x0 [a, b], 都有
x x0 c
b
lim

d
f ( x, y )dy lim f ( x, y )dy
c x x0
d
即定义在矩形域上连续,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.
(ii) 、 可微性:
d
R (a x b, c y d ) 上连续,则
若函数 f ( x, y) 与其偏导数 f ( x, y) 都在矩形域 x
注 : 由可微性，若f ( x, y )与 x f ( x, y )在矩形域R上连续，则导数
1
1
0
ln (1 x) dx , I (0) 0 2 1 x
所以
0
ln (1 x) dx ln 2 2 1 x 8
解法 2 所以
因为 ln (1 x) 0
1
x dy 1 xy
I
1
0 1
1 ln (1 x) 1 dx 2 0 1 x2 1 x 1
b
a
例
解
求
设
I ( ) ln (1 cos x) dx, | | 1
0

f ( x, ) ln (1 cos x)
取
| | b 1 f ( x, ), f ( x, ) 在矩形 0 x , b b 连续。
I ( )