七、坐标变换公式
定理1: 设n维线性空间Vn中的元素, 在基1, 2, ·, n下的坐标为: (x1, x2, ·, xn)T, · · · · 在基1, 2, ·, n 下的坐标为: (x1, x2, ·, xn)T, · · · · 若两个基满足关系式: (1, 2, ·, n)=(1, 2, ·, n)P. · · · · 则有坐标变换公式: x1 x1 x1 x1 x x x x 2 P 2 , 或 2 P 1 2 . xn x n x xn n
1 1 1 2 2 1 0 1 答案：过渡矩阵： 2 2 1 3 1 2 2
2011年期末考题
3.( 8分)设R 3中的两个基分别为 1 0 1 1 1 1 1 1 ， 2 1 ， 3 2 ， 1 0 ， 2 1 ， 3 1 1 0 2 0 0 1 （1）求由基 1， 2， 3到 1， 2， 3的过渡矩阵； （2）已知向量 在基 1， 2， 3下的坐标为 x (1,3,0)T ， 求在基 1， 2， 3下的坐标 .
4 4 答案：a 0, 坐标（3 ,2, ） . a a
2012年期末考题
五 * .(10分 )( 线性代数 II ， 学时学生做 )已知R 3的一个基为 48 1 ( 3,0,1) T， 2 (-1,2,1) T， 3 (0,-2,3) T，从基 { 1 , 2 , 3 } 到基{1 , 2 , 3 }的过渡矩阵为 2 0 1 P 0 1 2 0 1 3 且已知向量 关于基 { 1 , 2 , 3 }的坐标为( 2,0,1) T . 求 (1)向量关于基 e1 (1,0,0) T，e 2 (0,1,0) T，e 3 (0,0,1) T 的坐标； ( 2)向量关于基 { 1 , 2 , 3 }的坐标 .
六、基变换公式与过渡矩阵
设1, 2, ·, n及1, 2, ·, n是n维线性空间Vn的 · · · · 两个基, 且有 1 p11 1 p21 2 pn1 n 2 p12 1 p22 2 pn 2 n n p1n 1 p2 n 2 pnn n 称以上公式为基变换公式. 将上式用矩阵形式表示为: (1, 2, ·, n)=(1, 2, ·, n)P · · · · 在基变换公式中, 矩阵P称为由基1, 2, ·, n到 · · 基1, 2, ·, n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的. · ·
2 5 答案： )坐标：1， )坐标为：2 (1 (2 0 3
2 2 1 答案：过渡矩阵： 0 1 0 ，坐标： 3,3,1)T ( - 1 - 1 0
三、证明基，求坐标
2010年期末考题
T T 六、 分)证明向量组 1 1,1,0） 2 0,0,2） (10 （ ， （ ， T 3 0,3,2） （ ，构成线性空间 3的一组基，并向 R T 量 1,3,2）在此基下的坐标 （ .
其中
a11 a12 a1n a a 22 a 2 n , A 21 a a n 2 a nn n1
则称A为线性变换T在基1, 2, ·, n下的矩阵. · ·
十二、线性变换在不同基下的矩阵
定理1: 设线性空间Vn中取定两个基: 1, 2, ·, n; 1, 2, ·, n, · · · · 由基1, 2, ·, n到基1, 2, ·, n的过渡矩阵为P, Vn中 · · · · 的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B, 那末 B=P-1AP.
第六章 习题课
一、维数、基与坐标 二、基变换与坐标变换
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, ·, · · nV, 满足: (1) 1, 2, ·, n 线性无关; · · (2) V中任意元素总可以由1, 2, ·, n线性表示, · · 则称1, 2, ·, n为线性空间V的一个基. · ·
答案：坐标为(1,0,1)T
2011年选考题 3* .(8分）设向量组
1 1 1 1 1 0 ， 2 1 ， 3 a ， 2 1 0 1 3 (1) 求a的值，使 1， 2， 3是R 3的基； ( 2)当 1， 2， 3是R 3的基时，求 在这个基下的坐标.
十一、线性变换在给定基下的矩阵
定义: 设T是线性空间Vn中的线性变换, 在Vn中取 定一个基1, 2, ·, n, 如果这个基在变换T下的象为 · · T ( 1 ) a11 1 a 21 2 a n1 n T ( 2 ) a12 1 a 22 2 a n 2 n T ( n ) a1n 1 a 2 n 2 a nn n T(1, 2, ·, n)=(T(1), T(2), ·, T(n)), · · · · 记 则上式可表示为 T(1, 2, ·, n)= (1, 2, ·, n)A · · · ·
五、元素在给定基下的坐标
定义: 设1, 2, ·, n为线性空间Vn的一个基, 对 · · 任意V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, ·, xn, 使 · · = x11+x22+·+xnn , · · 则称有序数组 x1, x2, ·, xn 为元素在基1, 2, ·, n下 · · · · 的坐标, 并记作 = (x1, x2, ·, xn)T. · · 求坐标：设矩阵A=(1 , 2 , · n )，求解线性方 · · 程组Ax= ，解就是坐标. 线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是 唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同.
一、求坐标
2011年期末考题
4 * 、已知 R 3的一组基 1 (0,0,1)T , 2 (0,1,1)T , 3 (1,1,0)T ， T ( 2,1,1)T . 则向量 (1,0,1) 在这组基下的坐标 ___9年期末考题 十、（10分）已知R3的一个基为 1 (1,0, 1)T , 2 (1,1,0)T , 3 (0,1,1)T . 另一个基为 1 (1,0,0)T , 2 (1,1,0)T , 3 (1,1,1)T 求基 1 ,2 ,3 到 1 , 2 , 3 的过渡矩阵.