2019年重点中学自主招生考试数学试卷满分：120分 时间：90分钟 2019.2一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） （1）如果一元一次不等式组⎩⎨⎧>>a x x 3的解集为x ＞3，则a 的取值范围是 A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3 D ．a ≤3 （2）若实数x 满足12223-=++x x x ，则9932x x x x ++++ =A ．1-B ．0C ．1D ．99（3）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是A ．a b 1+米B ．（a b +1）米C ．（a+b a +1）米D ．（b a +1）米（4）若实数n 满足2)45()46(22=-+-n n ，则代数式)45)(46(n n --的值是A ．1-B ．21-C ．21D ．1（5）已知方程2(21)10x k x k +++-=的两个实数根12,x x 满足1241x x k -=-，则实数k的值为 A ．—3，0 B ．1，43-C ．1，13- D ．1，0 （6）如图，矩形AOBC 的面积为16，反比例函数xky =的图象经过矩形的对角线的交点P ，则反比例函数的解析式是A ．x y 1= B ．x y 2=C ．x y 4=D ．x y 8= （7）设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式3311ba +的值为 A ．24- B ．18- C ．18 D ．24 （8）当x 分别取值201，191，181，…31，21，1，2，3，…，18，19，20时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 A ．－20 B ．0 C ．1 D ．20（9）如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为A ．32B ．4C ．πD ．2π（10）方程813222=++y xy x 的整数解(,)x y 的组数为A ．7B ． 6C ．5D ．4 A C B （第6题）xy O P二、填空（本题有7个小题，其中11题6分，其余每小题4分，共30分） （11）直接写出下列关于x 的方程的根：①015722=-+x x ； ②24)3)(2)(1(=+++x x x x ；③41122=+++x x xx ；④01)2(2=+--+a x a x ； （12）已知三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且x =a a ＋b b ＋c c ＋ab ab ＋ac ac ＋cb bc，则ax 3＋bx 2＋cx ＋1=_________.（13）若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 . （14）如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________. （15）若实数a 、b 满足b ＞a ＞0，且ab b a 422=+，则ba b a +-= . （16）若实数b a ,满足0111=+--ba b a ，则=+ab b a 22. （17）桌面上有三颗球，相互靠在一起。

已知其中两个大球的半径均为3cm ，一个小球半径1cm ，则这三颗球分别与桌面相接触的三点构成三角形的面积为 cm 2.三、解答题（本题有6小题，共60分）（18）本题满分8分（Ⅰ）先化简，再求值：11)131()11(22-⨯--÷++x xx x x ，其中x =︒60sin . （Ⅱ）已知正实数x ，y 满足：06222=-+y xy x ，求2222y3xy 2-x y 6xy 5x 4++-的值.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，CD =DE ，AC +CD =9．（Ⅰ）求BC 的长； （Ⅱ）求CE 的长.（20）本题满分8分已知直线11:n n l y x n n+=-+（n 是正整数）.当n =1时，直线1:21l y x =-+与 x 轴和y 轴分别交于点1A 和1B ,设△11OB A (O 是平面直角坐标系的原点)的面积为1s ；当n =2时，直线231:22l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点2A 和2B ，设△22OB A 的面积为2s ，…,依此类推,直线n l 与x 轴和y 轴分别交于点n n A B 和，设n n A OB ∆的面积为n S .（Ⅰ）求△11OB A 的面积1s ； （Ⅱ）求2013321s s s s +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++的值.（21）本题满分12分如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，1-）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（Ⅲ）若ΔABC 的外接圆⊙P 与y 轴的另一个交点为F ，请直接写出点F 的坐标和⊙P 的面积．BA（第19题）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等腰三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？（Ⅰ）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等腰三角形一定是奇异三角形”是否正确？说明理由． （Ⅱ）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，且b a ，若Rt △ABC 是奇异三角形，求::a b c ；（Ⅲ）如图，以AB 为斜边分别在AB 的两侧作直角三角形，且AD =BD ，若四边形ADBC内存在点E ，使得AE =AD ，CB =CE ． ① 求证：△ACE 是奇异三角形； ② 当△ACE 是直角三角形时，求∠ABC 的度数．（23）本小题满分12分已知矩形ABCD （字母顺序如图）的边长AB =3，AD =2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy 中，使AB 在x 轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线y =23x －1经过这两个顶点中的一个.（Ⅰ）求出矩形的顶点A 、B 、C 、D 的坐标；（Ⅱ）以AB 为直径作⊙M ，经过A 、B 两点的抛物线y = ax 2＋bx ＋c 的顶点是P 点.① 若点P 位于⊙M 外侧且在矩形ABCD 内部，求a 的取值范围；② 过点C 作⊙M 的切线交AD 于F 点，当PF ∥AB 时，试判断抛物线与y 轴的交点Q 是位于直线y =32x －1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.A B C D E (第22题)自主招生数学答案1-10．DADBB, CCBAB11. (1)23,5-; (2)1,-4 (3)253,1±-; (4)1,1--a12. 1 13. 41≤≤x 14. 1:24 15. 33- 16. 5± 17. 3319.解①设AC=3k ，AB=5k ，BD=x ，CD=4-x ，△BED ∽△BCA →BD ︰BA=DE ︰AC →x ︰5=（4-x ）︰3→x=2.5k →CD=1.5k →由AC+CD=9→k=2→BC=4k=8②连结AD 交CE 于F 点,证明AD 垂直平分CE,可求出AD=53,再证△CFD ∽△ACD →CD ︰AD=CF ︰AC →6533CF=→CF=65→CE=125。

20．解：(1)当n=1时，直线1:21l y x =-+与 x 轴和y 轴的交点是1A （21，0）和1B （0，1） 所以1OA =21,1OB =1, ∴1s =41(2) 当n=2时，直线231:22l y x =-+与 x 轴和y 轴的交点是2A （31，0）和2B （0，21）所以2OA =31,2OB =21, ∴2s =213121⨯⨯=)3121(21-⨯当n=3时，直线3134:33+-=x y l 与 x 轴和y 轴的交点是3A （41，0）和3B （0，31）所以3OA =41,3OB =31, ∴3s =314121⨯⨯=)4131(21-依次类推，n s ==)111(21+-n n∴2013321s s s s +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=)20141201314131312121(21-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+∴2013321s s s s +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=)201412121(21-+=2014201321⨯=4018201321. 解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++1022c c b 解得： b =－21 c =－1 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y（2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2）由△ADE ∽△AOC 得，OC DE AO AD = ∴122DE m =- ∴DE=22m- ∴△CDE 的面积=21×22m -×m=242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0） （3）F(0,2), S=π2522．在Rt △ABC 中，222c b a =+∵ 0>>>a b c∴2222b a c +>，2222c b a +<∴若Rt △ABC 为奇异三角形,一定有2222c a b += ∴)(22222b a a b ++= ∴222a b = 得a b 2=∵22223a a b c =+= ∴a c 3=∴3:2:1::=c b a(3) ①∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB =∠ADB =90°在Rt △ACB 中，222AB BC AC =+ 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+ ∵点D 是半圆ADB 的中点 ∴AD= BD∴AD=BD ∴ 22222AD BD AD AB =+=∴2222AD CB AC =+ 又∵AD AE CE CB ==, ∴2222AE CE AC =+∴△ACE 是奇异三角形 ②由①可得△ACE 是奇异三角形 ∴2222AE CE AC =+ 当△ACE 是直角三角形时由（2）可得3:2:1::=CE AE AC 或1:2:3::=CE AE AC （Ⅰ）当3:2:1::=CE AE AC 时，3:1:=CE AC 即3:1:=CB AC∵︒=∠90ACB ∴︒=∠30ABC （Ⅱ）当1:2:3::=CE AE AC 时，1:3:=CE AC 即1:3:=CB AC23解：(1)如图，建立平面直有坐标系，∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，设A(m 0)（m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2);若C点过y =32x－1；则2=32(m＋3)－1,m = －1与m＞0不合；∴C点不过y=32x－1；若点D过y=32x－1，则2=32m－1, m=2,∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )，D(2,2)；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)，由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，∴0420255=++=++⎧⎨⎩a b ca b c∴b ac a=-=⎧⎨⎩710∴y = ax2－7ax＋10a( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a )∴y = a(x－72)2－94a；∴抛物线顶点P(72, －94a)∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,∴32＜－94a ＜2,∴－98＜a＜–32.②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在Rt∆DCF中，∵DF2＋DC2=CF2；∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=98, ∴F(2,98)∴当PF∥AB时，P点纵坐标为98；∴－94a =98，∴a = －12;∴抛物线的解析式为：y= －12x2＋72x－5抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），又直线y =32x－1与y轴交点（0，－1）；∴Q在直线y=32x－1下方.。