αnr A ⋅P⋅O⋅h ABD α βl知识点整理(一)平行与垂直的判断(1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v r r ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b r r，平面线线平行l ∥m ⇔a r ∥b r a kb ⇔=r r ；线面平行l ∥α⇔a r u ⊥r 0a u ⇔⋅=r r； 面面平行α∥β⇔u r ∥v r .u kv ⇔=r r(2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r，则线线垂直l ⊥m ⇔a r ⊥b r 0a b ⇔⋅=r r ；线面垂直l ⊥α⇔a r ∥u r a ku ⇔=r r；面面垂直α⊥β⇔u ⊥v .0=⋅⇔v u(二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算(1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r，则①两直线l ,m 所成的角为θ(02πθ≤≤),cos a b a bθ⋅=r r r r ；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=r rr r ；③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u vu vθ⋅=r r r r(2)空间距离点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难,① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n r是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，其中A α∈则点P 到平面α的距离② h =||||AP n n ⋅u u u r u u ru u r (实质是AP u u u r 在法向量n r 方向上的投影的绝对值) ③ 异面直线12,l l 间的距离d :||||CD n d AB n ⋅==u u u r u u rr (12,l l 的公垂向量为n r ,C D 、分别是12,l l 上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角 （3）AB 与CD 的距离.解：设,c DB ,b CD ,a AC ===则,60c ,a ,90c ,b b ,a ,1|c ||b ||a |00>=<>=>=<<===（1）()2a c 2c b 2b a 2c b a c b a |AB |2222=⋅+⋅++⋅+++=++=∴，∴ A 、B 两点间的距离为2.（2）异面直线AB 和CD 的所成的角为600（3）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为c z b y a x n ++=，由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)c b a ()c z b y a x (=++⇒=++⋅++①； 由CD n ⊥得0y 0b )c z b y a x (=⇒=⋅++②，令x=1，则由①、②可得z=-1，∴c a n -=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为()21c a a c a (|n |AC n |AC |n |n |d 2=-==⋅=. 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将AB 有基底表示，PE ，PF 也用基底表示，最后用待定系数法PF PE AB μ+λ=，将λ和μ求出。

例2。

如图，在三棱锥A —BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD =3，BD =CD =1。

另一个侧面ABC 是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求二面角B —AC —D 的大小；（3）在段线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存 在，说明理由.20．解法一：（1）方法一：作AH ⊥面BCD 于H 连DH.AB ⊥BD ⇒HB ⊥BD ，∵AD =3，BD =1∴AB =2=BC =AC ∴BD ⊥DC又BD =CD ，则BHCD 是正方形， 则DH ⊥BC. ∴AD ⊥BC ，方法二：取BC 的中点O ，连AO 、DO ， 则有AO ⊥BC ，DO ⊥BC . ∴BC ⊥面AOD ，∴BC ⊥AD（2）作BM ⊥AC 于M ，作MN ⊥AC 交AD 于N ， 则∠BMN 就是二面角B —AC —D 的平面角.∵AB =AC =BC =2，∴M 是AC 的中点，且MN //CD .则BM =.2321,2121,26====AD BN CD MN 由余弦定理得arccos ,362cos 222=∠∴=⋅-+=∠BMN MN BM BN MN BM BMN 36.（3）设E 为所求的点，作EF ⊥CH 于F ，连FD ，则EF//AH ，∴EF ⊥面BCD ，∠EDF 就是ED 与面BCD 所成的角，则∠EDF =30°， 设EF =x ，易得AH =HC =1，则CF =x ，FD =21x +.,12,22,331tan 2====+==∠∴x CE x xx FD EF EDF 则解得故线段AC 上存在E 点，且CE =1时，ED 与面BCD 成30°角.解法二：（1）作AH ⊥面BCD 于H ，连BH 、CH 、DH ，则四边形BHCD 是正方形，且AH =1， 以D 为原点，以DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系如图， 则B （1，0，0），C （0，1，0），A （1，1，1）..,0),1,1,1(),0,1,1(AD BC DA BC DA BC ⊥=⋅∴=-=则（2）设平面ABC 的法向量为1n =),,(z y x ，).1,1,1(.0;0:11111-==+=⊥⊥=+-=⋅⊥n z x CA n CA n y x BC n BC n 可取知同理由知则由 同理，可求得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(2-=n . 由图可以看出，二面角B —AC —D 的大小应等于><21,n ncos 则><21,n n =3623101||||2121=⋅++=n n n n ，即所求二面角的大小是.36arccos （3）设E （x ，y ，z ）是线段AC 上一点，则,1,0=>=y z x 平面BCD 的一个法向量为),,1,(),1,0,0(x x DE n ==要使ED 与面BCD 成30°角，由图可知n DE 与的夹角为60°，ABCDEFxyzG.30,1,.12,22,,212.2160cos 21||||,cos 22角成与面时且点上存在故线段则解得则所以οοBCD ED CE E AC x CE x x x x xn DE ====+===+=>=< 题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题例3、如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值． 解法一:（Ⅰ）,AB DC DC ⊂Q P 平面EFCD , ∴AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离，过点A 作AG FD ⊥于G ，因2BAD π∠=AB ∥DC ，故CD AD ⊥；又Q FA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理可知，CD FD ⊥，故CD FAD ⊥面，知CD AG ⊥，所以AG 为所求直线AB 到面EFCD 的距离在Rt ABC △中，22945FD FC CD =-=-=由FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，从而在Rt △FAD 中，22541FA FD AD =-=-=∴255FA AD AG FD ⋅===。

即直线AB 到平面EFCD 的距离为55。

（Ⅱ）由己知，FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，又由2BAD π∠=，知AD AB ⊥，故AD ⊥平面ABFE∴DA AE ⊥，所以，FAE ∠为二面角F AD E --的平面角，记为θ.在Rt AED △中, 22743AE ED AD =-=-=,由ABCD Y 得,FE BA P ,从而2AFE π∠=在Rt AEF △中, 22312FE AE AF =-=-=故tan 2FEFAθ==所以二面角F AD E --2.解法二: （Ⅰ）如图以A 点为坐标原点,,,AB AD AF u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设00(0,0,)(0)F z z >可得0(2,2,)FC z =-u u u r,由||3FC =u u u r .2220223z ++=,解得(0,0,1)F Q AB ∥DC ，DC ⊂面EFCD ,所以直线AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离。

设A 点在平面EFCD 上的射影点为111(,,)G x y z ,则111(,,)AG x y z =u u u r因0AG DF ⋅=u u u r u u u r 且0AG CD ⋅=u u u r u u u r ,而(0,2,1)DF =-u u u r(2,0,0)CD =-u u u r ,此即1112020y z x -+=⎧⎨-=⎩ 解得10x = ① ,知G 点在yoz 面上,故G 点在FD 上.GF DF u u u r u u u r P ,111(,,1)GF x y z =---+u u u r 故有1112y z =-+ ② 联立①,②解得, 24(0,,)55G .∴||AG uuu r 为直线AB 到面EFCD 的距离. 而24(0,,)55AG =u u u r所以||AG =u u u r （Ⅱ）因四边形ABFE 为平行四边形,则可设00(,0,1)(0)E x x <,0(2,1)ED x =--u u u r.由||ED =u u u r=解得0x =.即(E .故(AE =u u u r由(0,2,0)AD =u u u r ,(0,0,1)AF =u u u r因0AD AE ⋅=u u u r u u u r ,0AD AF ⋅=u u u r u u u r ,故FAE ∠为二面角F AD E --的平面角，又Q EF =u u u r,||EF =u u u r ,||1AF =u u u r ,所以||tan ||EF FAE FA ∠==u u u ru u u r 例3、如图,四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD.已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22， SA ＝SB ＝3.(1)证明：SA ⊥BC ；(2)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.求异面直线DC 、SA 的距离.解: (1)作AE BC ⊥于E 点,则cos 2cos 45AE BE AB ABE ==⋅∠=⋅=o又∵BC=22∴12BE BC =,即E 点是BC 的中点. 又∵SEA SB ∆≅∆ ∴ 90SEB SEA ∠=∠=o, 即SE 是BC 的中垂线. 又∵侧面SBC ⊥底面ABCD ∴SE AC ⊥面.(2) 以E 为原点,分别以向量,,EA EB ES u u u r u u u r u u u r的正方向为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图4所示. 容易求得SE=1,于是A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),D(2,-22,0),S(0,0,1),E(0,0,0).设平面SAB 的法向量(x,y,z)n =r,∵ (2,0,1)SA =-u u r,SB=(0,2,-1)u u r∴2-02-0n SA x z n SB y z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩r u u r r u u r 令2z =,得(1,1,2)n =r. 又∵(2,22,1)SD =--u u u r设直线SD 与平面SAB 所成的角为θ,则2222sin 11114SD n SD nθ⋅===⋅⋅u u u r r u u u r r∴22arcsinθ=.题型三、探索性问题已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλADAF ACAE（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ 21．证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC.………………………………3分 又),10(<<==λλADAF AC AE Θ∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC …………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ， ∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC.………………8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===οAB BD,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=ACAE AE λ故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD.………………………………………………12分 22.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点。