f ( x) 在 U( x0 )内能展开成幂级数
f ( x) 在 U( x0 )内能展开成幂级数 an( x x0 )n , 则其展
开式是唯一的 .
n0
函数展开成幂级数 , 可用直接方法 , 也可用间接方法 . 8
1 . 几何级数 a qn1 .
n1
q 1 , 收敛 ; q 1 , 发散 .
n1 n1
n1
n1
n1
2 设 k 0 , 则 k un 与un 同敛散 ,
n1
n1
而且 , 若 un收敛 , 则有 k un k un .
n1
n1
n1
3 un 与 un 同敛散 .
nk
n1
4 收敛级数加括号后仍收敛 ; 逆否命题正确 .
5
un
nk
收敛
lim
n
un
0;
逆否命题正确 .
2
正项级数审敛法:
2.
调和级数
1 n
n1
1
1 2
1 3
1 n
3.
1
n1 n p
1
1 2p
1 3p
1 np
p ( 0, 1] p (1, )
发散
收敛
发散
4.
(1)n1
n1
1 n
1
1 2
1 3
1 4
条件收敛
5.
(1)n1
n1
1 np
1
1 2p
1 3p
1 4p
( p 0)
收敛
9
1 e x xn 1 x x2 x3
(2)
lim
n
un
0
.
级数收敛性与前 k 项无关
则 (1)n1un 收敛 , 且其和 s u1 , 余项 rn un1 .
n1
任意项级数审敛法 : 绝对收敛与条件收敛
定理 绝对收敛级数 un 一定收敛 .
n1
比值审敛法 :
若 lim
n
un1 un
,则
根值审敛法 : 若 lim n
n
un
,则
4
幂级数 :
an( x x0 )n 或 an xn
n0
n0
幂级数 an xn 的收敛半径 :
n0
当 x R 时 , 幂级数绝对收敛 ;
当 x R 时 , 幂级数发散 ,
称 R 为幂级数的 收敛半径 .
当 x R 或 x R 时 , 幂级数可能收敛 , 也可能发散 .
R lim an , n an1
第十一章 无穷级数 习题课
un
正项级数 交错级数
n1 任意项级数
数项级数
级数 un 收敛
n1
固定 x x0
收敛域
un( x)
幂级数 Forier 级数
n1
其它
函数项级数
n
lim
n
k
uk
1
s
.
记 s un .
n1
1
级数的基本性质:
1 设 un , vn 都收敛 , 则 (un vn ) un vn .
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0 )n
f ( x) ~ f (0) f (0) x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
f ( x) 在 U( x0 )内能展开成幂级数
在
U
(
x0
)
内
,
lim
n
Rn
(
x)
0
当 x U( x0 ) 时 , f (n)( x) M ( n k , k 1, k 2, )
eix cos x i sin x .
2
sin x eix eix .
2i
11
Forier 级数
( f ( x) 以 2 为周期 )
f ( x) ~
a0 2
( ancos nx bnsin nx)
n1
幂级数 an xn 在收敛区间 (R , R ) 上可逐项求导或积分 .
n0
s(
x
)
an
n0
x
n
n0
an xn
n an xn1
n1
x
0
s( x) d
x
x 0
an
n0பைடு நூலகம்
x
n
d
x
n0
x 0
an xn
d
x
an xn1 n0 n 1
7
函数展开成幂级数 f ( x) ~ f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
4 ln(1 x) (1)n xn1 x x2 x3 x4
n0 n 1
2 3 4 x ( 1, 1 ]
5 arctan x (1)n x2n1 x x3 x5 x7
n02n 1
3 5 7 x [ 110, 1 ]
6 (1 x) 1 ( 1) ( n 1) xn
k 0
an
n0
x
n
bn
n0
xn
dn
n0
xn
bn xn 0
n0
dn 使下式成立 :
an xn
n0
dn
n0
x
n
bn
n0
xn
6
幂级数和函数的性质
幂级数 an xn 的和函数 s( x) 在收敛区间上连续 .
n0
(R , R) , [R , R) (R , R] 或 [R , R]
n0 n!
2! 3!
x (, )
2
sin x
(1)n x2n1 x x3 x5 x7
n0(2n 1)!
3! 5! 7! x (, )
3 cos x (1)n x2n 1 x2 x4 x6
n0 (2n)!
2! 4! 6!
x (, )
(sin x ~ 奇函数 , cos x ~ 偶函数 , (sin x) cos x )
un 收敛
n1
un 的部分和序列 { sn } 有上界 .
n1
比较审敛法 :
若 un vn ( n k 1 , k 2 , ) 则
如果
lim
n
un vn
( 0 )
则 un
与 vn 同敛散 .
极限审敛法 : ( un 0 的速度较快 , un 收敛 )
(
p
1) 若
lim
R lim
n
n
1 an
当 R 0 时 , 幂级数只在 x 0 点收敛 ;
当 R 时 , 幂级数在全实轴收敛 .
5
幂级数在公共收敛区间上可进行加减乘(除)四则运算 .
an xn bn xn (an bn )xn
n0
n0
n0
an
n0
x
n
bn
n0
x
n
cn
n0
xn
n
cn akbnk
n
n
pun
(0
) , 则 un
收敛 ;
若
lim
n
n
un
(0
)
,
则 un
发散
.
比值审敛法 :
若
lim
n
un1 un
,
则
根值审敛法 :
若
lim n
n
un
, 则
3
交错级数审敛法 :
Leibnitz 定理
对于交错级数
(1)n1
un
,
如果
n1
(1) un un1 , ( n 1 , 2 , 3 , )
n1
n!
1 x ( 1) x2 ( 1)( 2) x3
2!
3!
x ( 1, 1 )
1 1 1 x x2 x3 x4
1 x 1 1 x x2 x3 x4
1 x
x ( 1, 1 ) x ( 1, 1 )
欧拉 (Euler) 公式 :
cos x eix eix ,