第二章 点集
1、证明：'
0P E ∈的充要条件是在任意含有0P
的领域(),P δ⋃（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的点1P
属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）；0o P E ∈ 的充要条件则是有含有0P 的领域(),P δ⋃（同样，不一定以0P 为中心）存在，使(),P E δ⋃⊂.
()()()'00100010101001001'0010
000:min ,,,,..o
P E d P P d P P P P E P E P E P E P E P E E δδδδδδδδ∈⋃=-⋃⊂⋃⋃∈⋃∈⋃∈⋃∈∈∈⋃∈⋃ 证明若，对任意含有P 的领域(P,)，取则(P ,)(P,),而(P ,)中含有异于的点，所以(P ,）中存在异于P 的点若任意一个含有P 的领域(P,)中有异于P 的点，则任一
（P ）也有异于P 的点，故 若，则存在（P ），使（P ()()()0100010=min ,,,.
o d P P d P P E P E δδδδδδ⋃∈⋃⊂=-⋃⊂⋃⊂∈ ）（P ，）即得证.若P (P,)E ，取，则有(P ,)(P,)，从而
4、设3E 是函数
1
sin ,0,0,0
x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩当 当
的图形上的点所作成的集合，在2
R 内讨论'
333o
E E 的E 与.
(){}'33=0y 11.
o
E y E φ⋃-≤≤=解：E ，
8.x -+a f ∞∞≥设（）是（，）上的实值连续函数，则对于任意常数,E={x|f(x)>a}是一开集，而E={x|f(x)a}总是一闭集。

(){}
()()(){}(){}()(){}()()o ,?,0,,,, ,|()||()| |{|}|{|}.
{, |}. ' ',o o o o o c
o x E x f x a f x a f x x x x f x a x E x f x a x E E x f x a H x f x a x f x a H x f x a x H H f x a H x δδδ∈=>>>-<>⋃∈=><=≥=<=≥∈=≥⊂' 任取则由在处连续及极限的保号性知，
存在当时有即即为的内点，从而 证明为开：集；
类似可证为开集从而是闭集又要证是闭集，只需证任取则存在()()(){}()(){|}{| ,, ,}n o n o o H x f x x f x a f x a x x f x a x f x a ≥≥∈≥≥中的点列使得由在处连续及，可知所以从而是闭集.
9.证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。

00000000011G (,),1,2,...
111
G ,(,).0(,),(,),(,)(,),
1
(,)(,)(,),G ,(,)G G 1
G ,(,),(,)0n n n n n n n F x d x F n n x d x F d x F x x d x x d x F n n n
d x F d x x d x F x x n
x d x F d x F n δδδδ∞=⎧
⎫⎨⎬⎩
⎭=<=∀∈<<<-∈⋃<<-≤+<∈⋃⊂∈<=⋃ 证明：设为闭集，令对令任意取有因此则有即，故为开集.
设则取极限得1
1111
1
.,G .,
1
(,)0,G ,G ,G .G ,G G ,G G cG ,G n n n n n n n n n n n n n n n n x F F F x F d x F x F F F F n G cG cG c cG ∞
=∞∞
==∞
∞
∞
===⎛
⎫ ⎪⎝⎭
∈=⊂∈=<∈∈⊂====⋃⋃⋃⋃⋃⋃所以即另外，对任意的所以即从而因此是可数个开集的交集。

设为开集，则为闭集，可知，存在开集，使得所以而
为开集，因此是可数个闭集的和集.
111.a,,={x |()}={x |()}b c E f x c E f x c ⎡⎤⎣⎦≥≤证明：f(x)为上连续函数的充分必要条件是对任意实数集和 都是闭集.
000000()a,0,,,{()()}{()()}c (){()},()n n n n n f x x b x x x R x x f x f x x x f x f x f x x E x f x c x E f x εεεε⎡⎤⎣⎦∈∃>→∃∈∈≤-∈≥+-∈=≤∈ 证明： 假如在某点处不连续，则 从而：或：，不妨令=，
为闭集，
可知得到矛只要证明充分盾，所以性
连续.
()()(){}113:()f x R f x f G x f x G -=∈、设是定义在上的函数，则在其上连续的充分必要条件是：对任意开 集G ，点集是开集.
1100000011101000(),(),(),0,((),),()0,(,),()((),)(),(,)()()0,((),())G R f G x f G f x G G
f x G f x x x x f x f x G x f G x f G f G x R G f x f x R εεδδεδεεε-----⊂≠∅∀∈∈∴∃>∍⋃⊂∃>∀∈⋃∈⋃⊂∈⋃⊂∀⊂∀>=-+ 证明：必要性：对任意开集，不妨设
因为是开集，又在处连续，，从而，因此，故为开集.
充分性：，是的开11010000()(),0,(,)()(,),(),()().f G x f G x f G x U x f x G f x f x f x δδδε---∈∃>∍⋃⊂∀∈∈-<集，故是开集且从而，于是即有故在处连续.
2011级1班 何沁萌 222011314011145。