《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(Y （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===nk knk kA P A P 11)()(Y （n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P里3可列可加性：设Λ,,21B B 是两两互不相容的事件，则有∑∞=∞==11)()(i i i i A B P A B P Y（3） 乘法定理 设0)(>A P ，则有)|()()(B A P B P AB P =称为乘法公式（4） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(贝叶斯公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(§6．独立性定义 设A ，B 是两事件，如果满足等式)()()(B P A P AB P =，则称事件A,B 相互独立 定理一 设A ，B 是两事件，且0)(>A P ，若A ，B 相互独立，则()B P A B P =)|( 定理二 若事件A 和B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与————与，与，B A B A B是，此时.将E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的独立实验为n 重伯努利实验。

n 2,1,0k q p k n )k X (k-n k Λ，，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==P 满足条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞=1k k P =1注意到k -n k q p k n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛是二项式nq p ）（+的展开式中出现k p 的那一项，我们称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。

（3）泊松分布设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为,2,1,0,k!e )k X (-k Λ===k P λλ其中0>λ是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布记为）（λπ~X §3随机变量的分布函数定义 设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数∞<<∞≤=x -x},P{X )x (F 称为X 的分布函数）的)x⎪⎩，其他X服从参数为θ的指数分布。

（3）正态分布若连续型随机变量X的概率密度为，，）∞<<∞=--x ex f x -21)(222(σμσπσμσσμ，服从参数为为常数，则称（，其中X )0>的正态分布或高斯分布，记为），（2N ~X σμ特别，当10==σμ，时称随机变量X 服从标准正态分布§5随机变量的函数的分布定理 设随机变量X 具有概率密度,-)(x ∞<<∞x x f ，又设函数)(x g 处处可导且恒有0)(,>x g ，则Y=)(X g 是连续型随机变量，其概率密度为[]⎩⎨⎧<<=其他，0,)()()(,βαy y h y h f y f X Y上数Y ）），变量，各自也有分布函数，将他们分别记为）（（y ),x F X Y F ，依次称为二维随机变量（X ，Y ）关于X 和关于Y 的边缘分布函数。

Λ，，2,1i }x P{X p 1j i ij i ====∑∞=•p Λ，，2,1j }y P{Y p1i i ij====∑∞=•j p分别称•i p j p •为（X ，Y ）关于X 和关于Y 的边缘分布律。

⎰∞∞-=dy y x f x f X ）,()( ⎰∞∞-=dx y x f y f Y ）,()(分别称)(x f X ，)(y f Y 为X ，Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度。

§3条件分布定义 设（X ，Y ）是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若,0}{>=j y Y P 则称Λ,2,1,}{},{}{========•i p p y Y P y Y x X P y Y x X P jij j j i j i 为在j y Y =条件下随机变量X 的条件分布律，同样Λ,2,1,}{},{}{========•j p p x X P y Y x X P X X y Y P i ij i j i i j随机变量，其概率密度为⎰∞∞-+-=dy y y z f z f Y X ）,()(或⎰∞∞-+-=dx x z x f z f Y X ）,()(又若X 和Y 相互独立，设（X ，Y ）关于X ，Y 的边缘密度分别为)(),(y f x f Y X 则⎰∞∞-+-=dy f y z f z f Y X Y X y)()(（） 和⎰∞∞-+-=dx x z f x f z f Y X Y X )(()(）这两个公式称为Y X f f ,的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2，的分布的分布、XY Z XYZ ==设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(y x f ，则XY Z XYZ ==， 仍为连续性随机变量其概率密度分别为dxxz x f x z f XY),()(⎰∞∞-=dx xzx f x z f XY ,(1)(⎰∞∞-=又若X 和Y 相互独立，设（X ，Y ）关于X ，Y 的边缘密度分别为又k p∞-⎰∞∞-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(定理 设Y 是随机变量X 的函数Y=)(X g (g 是连续函数)（i ）如果X 是离散型随机变量，它的分布律为k p X P ==}x {k ，k=1,2，…若kk kp x g ∑∞=1(）绝对收敛则有=)Y (E =))((X g E kk kp x g ∑∞=1(）（ii ）如果X 是连续型随机变量，它的分概率密度为)(x f ，若⎰∞∞-dx x f x g )()(绝对收敛则有=)Y (E =))((X g E ⎰∞∞-dx x f x g )()(数学期望的几个重要性质 1设C 是常数，则有C C E =)(2设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(X CE CX E = 3设X,Y 是两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+；特§3协方差及相关系数定义 量)]}()][({[Y E Y X E X E --称为随机变量X 与Y 的协方差为),(Y X Cov ，即)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=而D(Y)D(X)Y X (XY ），Cov =ρ称为随机变量X 和Y 的相关系数对于任意两个随机变量X 和Y ，),(2)()()_(Y X Cov Y D X D Y X D -++=+ 协方差具有下述性质1),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov == 2),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ 定理 1 1≤XY ρ第五章 大数定律与中心极限定理§1． 大数定律弱大数定理（辛欣大数定理） 设X 1，X 2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望),2,1()(Λ==k X E k μ.作前n 个变量的算术平均∑=nk k X n 11，则对于任意0>ε，有1}1{lim 1=<-∑=∞→εμnk k n X n P定义 设ΛΛn Y Y Y ,,21是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有1}{lim =<-∞→εa Y P n n ，则称序列ΛΛn Y Y Y ,,21依概率收敛于a ，记为a Y pn −→−伯努利大数定理 设A f 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε〉0，有1}{lim =<-∞→εp n f P n n 或0}{lim =≥-∞→εp nfP n n§2中心极限定理）。