第二章 导体周围的静电场
重点
1、电场与物质相互作用:
2、本章: 金属导体， 静电场
3、根据: 高斯定理、环路定理
§1 静电场中的导体
1. 导体的电性质 (经典观点)
导体静电平衡：无宏观电流, 电荷分布不再改变——静电场
宏观电荷分布—带电
2. 导体静电平衡条件
E 内=E 外+E ’=0
3. 导体静电平衡时的性质
导体内部无电荷，电荷在表面层(面密度σ)
导体为等位体, 表面为等位面
导体表面外附近电场 ⊥ 表面
导体表面场强为: E 表=σε0
n 4. 静电场问题的唯一性定理
1 唯一性定理
唯一性问题:
(1)电荷自动调整，电场唯一吗？
(2)边界条件确定, 域内电荷分布不变, 域内电场唯一吗？
唯一性定理: 适当的物理条件确定之后，在给定区域V 内电场的稳定分布（静电平衡下的分布）是唯一的．
适当的物理条件: U ⎪S or E n ⎪S 确定; V 内除导体外电荷分布确定；导体总电荷or 电位确定 2 唯一性定理意义
(1)若有一个解就是 唯一的解.
(2)指出决定解的因素.
(3)V 外电荷分布改变(上述条件不变)则解不变
3 唯一性定理简略证明(介绍)
U ⎪S 给定的边界条件
设在同一条件下有两解,证明两解相同
对导体第一种情况的证明
5. 例
＂猜出＂可能的解, 就是唯一的真的解
1. 已知孤立导体总电荷q ，求: 电荷分布σ
(1)半径为R 的球体总电荷q
“猜”：q 均匀分布在球的外表面上
σ=q/4πR 2
则：E 内=0
是解，且唯一
(2)无限大带电导体平板 “猜”：q
E 总=σ/ε0=q/(2ε0S)
E 总=0
所猜即为解
(3)一般形状 ——由实验测量
2. 外电场中的中性导体
匀强电场中的球形导体
当σ(θ)=σ0cos θ 时, 导体内电场匀强为
E
’内= -σ0 z
/3ε0 若σ0=3ε0 E 0 E 内=E 0+E ’=0 此即唯一解
3. 外电场中的带电导体
导体大平板A 、B, 面积S, 带电为Q A 、Q B . 设: 电荷在表面均匀分布 (σ1-σ2-σ3-σ4)/2ε0=0 (σ1+σ2+σ3-σ4)/2ε0=0 S(σ1+σ2)=Q A S (σ3+σ4)=Q B σ1=σ4=(Q A +Q B ) /2 σ2= -σ3=(Q A -Q B )/2
6. 电象法简介
个别点电荷情况下，计算导体上感应电荷的一种简单方法——电象法 例1: 半径为R 的接地导体球，点电荷q 距导体球中心d.
保持导体表面为零等位面, 球面外部的场不变, q’代替感应电荷对外部场的作用
(1) 确定q’
U(r=R)=q/(4πε0b)+q’/(4πε0b ’)=0
R 1234
b/b ’= -q/q’≡常数C
由点G 和H 得:
a=R 2/d q’= -Rq/d
验证:
b ’2=R 2+a 2-2Racos θ’=R 2(R 2+d 2-2Rdcos θ’)/d 2=R 2b 2/d 2
即 b/b ’=d/R
(2)计算电场
由导体性质, 球内E 内=0
球面外任意点P(r,θ)
U P (r ) =0
4q πε(1/b-R/b ’d) E r = -∂U/∂r =04q
πε[(r -dcos θ)/b 3-R(r -acos θ)/(b ’3d)]
E θ= -1r
(∂U /∂θ)=q 40πε d sin θ[1/b 3-(R/b ’d)3] E φ=0
(3)表面上的电荷分布
σ(R,θ) = -q(d 2-R 2)/[4πR(R 2+d 2-2Rd cos θ)3/2]
q 感=⎰σ(R,θ)ds= -Rq/d=q’
(4)作用到q 的力等于q’对q 的作用力
∴F=qq’/4πε0(d -a)2=Rdq 2/4πε0(d 2-R 2)2
§2利用导体构造和影响电场
1. 静电透镜
2. 闭合导体壳内外电场. 静电屏蔽
1.
q 外⊕σ外1 ⇒
E 里=E 空=0
2 中性闭合导体壳部分屏蔽内部场(q 内的场)
空腔 里 外
3 接地闭合导体壳完全屏蔽内部场(q内的场) 3. 电容和电容器
1. 电容概念
导体电位与电量成正比，即U ∝ q ⇒电容概念电容C表达导体(组)容纳电荷的能力
(1)孤立单导体
U ∝ h ∝ q
定义：
常数C=q
U
为孤立导体电容
例: 孤立导体球(R)
设带电q, U=q/(4πε0R)
C=q/U=4πε0R
(2)带等量异号电荷的双导体
设带电±q , ∆U ∝ q
C=q/∆U
2. 自屏蔽下的电容器
实用的电容器都要屏蔽外界影响，为带等量异号电荷的双导体(1)球形电容器(球半径R1 ,壳内半径R2)
C=4πε0R1R2/(R2-R1)
(2) 圆柱形电容器(中心圆柱R1 , 壳体R2)
C=2πε0L / [ln (R2/R1)]
(3)平行板电容器
C=ε0S/d
3. 电容器的串并联
串联: Q相同V=∑V i
等效电容C-1=∑ C i-1
并联: V相同Q=∑Q i
等效电容C=∑C i
§3 静电能
电荷观点: 带电体(点电荷系)具有电(势)能
电场观点：电能储存在电场中
静电场情况下，两种观点等效
1. 点电荷系统静电能W
取电荷相距无限远为电势能的零点
W：从∞克服场力聚为现状所做功(积累能量)
从现状分散到∞处场力所做功(放出能量)
N个点电荷的系统
依次将q1、q2、…、q N-1 移到∞ .
W=q1U1(q2,…,q N)+…+q i U i(q i+1,…,q N) +…+q N-1U N-1(q N)
依次将q N、q N-1、…q2移到∞ .
W=q N U N(q1,…,q N-1)+…+q i U i(q1,…,q i-1) +…+q2U 2(q1)
W= ∑1
2
q i U i
U i≡U i(q1,…,q N; -q i)
2. 连续分布带电体静电能1.一般情况
W=1
2
⎰Udq
说明:
P0=∞
对全部电荷积分
U为全部电荷在dq处的电位W为全部电能(自能和互能) 2. 导体组
W=∑1
2
⎰Udq =∑1
2
U i q i
3. 电容器的静电能
W=(q+U++q-U-)/2＝1
2
q∆U=
1
2
C∆U2
例: 求半径R的均匀带电球体的静电能E=ρr/(3ε0) r<R
E=q r/(4πε0r3)r>R
U(r<R)=ρ(3R2-r2)/(6ε0)
W=1
2
⎰Udq=3q2/(20πε
R)
3. 互能与自能
自能：带电体（子系统）具有的能量；互能: 带电体之间具有的能量
两个带电体
W=W自1+W自2+W互
⎰
q1
U(q2)dq = ⎰q2 U(q1)dq =W互
4. 电场的能量——场的观点真空中电场能量密度
w =1
2
ε0E2
q1
12
q2
W= ⎰ wdV=⎰1
ε0E2dV
2
例2. 均匀带电球体
E内= qr/4πε0R3E外=q/4πε0r2 W = ⎰内ε0E内2dV/2+⎰外ε0E外2dV/2 =3q2/20πε0R。