第11章《反比例函数及其图象》单元复习1．反比例函数的概念、图象与性质考试内容考试 要求反比例函数的概念 一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠____________________)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数．自变量的取值范围是____________________． B 级确定反比例函数的解析式常用方法：待定系数法．C 级y ＝kx(k ≠0) 图象所在象限 性质 k>0一、三象限(x 、y 同号) 在每个象限内，y 随x 增大而____.k<0二、四象限(x 、y 异号)在每个象限内，y 随x 增大而____.反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是 ，且关于 对称．注意点在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k ＞0时，y 就随x 的增大而减小．2．反比例函数中k 的几何意义考试内容考试要求k 的几何意义反比例函数图象上的点(x ，y)具有两数之积(xy ＝k)为 这一特点，则过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数 ．C 级结论的推导如图，过双曲线上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝____________________·____________________＝____________________．∵y＝kx，∴xy＝____________________，∴S＝____________________．拓展在上图中，易知S△POM＝S△PON＝．所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数．3.反比例函数的实际应用考试内容考试要求步骤①根据实际情况建立反比例函数模型；②利用待定系数法或其他学科的公式等确定函数解析式；③根据反比例函数的性质解决实际问题．C级注意点在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数的取值范围．考试内容考试要求基本思想1.反比例函数值的大小比较时，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．C级2.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中，要把x的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部分进行分析．1．(2017·台州)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I＝UR，当电压为定值时，I关于R的函数图象是()（第1题）2．如图，函数y1＝k1x与y2＝k2x的图象相交于点A(1，2)和点B，当y1<y2时，自变量x的取值范围是()A．x＞1；B．－1＜x＜0；C．－1＜x＜0或x＞1；D．x＜－1或0＜x＜1。
3．(2017·绍兴)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝kx(x＞0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为(2，2)，则点B的坐标为____________________．（第2题）（第3题）4．(2016·湖州)湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米长方形鱼塘．(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式；(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？5．（2017年苏州市••第25题8分））如图，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB=4，BC=．（1）若OA=4，求k的值；（2）连接OC，若BD=BC，求OC的长．【问题】如图是反比例函数y＝kx(k≠0)的图象．(1)请你根据图象写出相关的信息．(2)若直线y＝k′x与反比例函数图象交于P(3，4)、Q两点，你又能得出哪些相关信息．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理反比例函数的相关概念和性质．类型一反比例函数的图象与性质例1已知反比例函数y＝kx(k≠0)，(1)若该函数的图象经过点A(1，－2)，则k＝________.(2)若k＞0，点A(－1，y1)，B(1，y2)和C(2，y3)都在该函数的图象上．则________＜________＜________(填y1，y2，y3)．(3)若该函数的图象与y＝6x的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为________．(4)若该函数的图象与函数y＝－4x的图象交于A(x，4)、B两点，则点B的坐标为________．(5)若该函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，且k＝1－m，则m的取值范围是________．【解后感悟】解答问题关键是数形结合，利用函数图象特点解决，如增减性、对称性．1．(1)(2017·天津模拟)已知反比例函数y＝－8x，则有：①它的图象在一、三象限；②点(－2，4)在它的图象上；③当1＜x＜2时，y的取值范围是－8＜y＜－4；④若该函数的图象上有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么当x1＜x2时，y1＜y2.以上叙述正确的是____________________．(2)(2017·丽水模拟)函数y1＝x(x≥0)，y2＝9x(x＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为(3，3)；②当x＞3时，y2＞y1；③当x＝1时，BC＝8；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是____________________．(3)(2017·武汉模拟)在反比例函数y＝1－3mx图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是____________________．类型二反比例函数k的几何意义y＝kx(k≠0)的解析式及其k的几何意义：反比例函数y=kx(k≠0) 中比例系数k的几何意义, 即过双曲线y=kx(k≠0) 上任意一点引x轴、y轴垂线, 所得长方形面积为│k│。
例2反比例函数y＝kx(k≠0)，(1)如图，点A是该函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP面积为2，则该函数的解析式为________．第(1)题图第(2)题图(2)如图，该函数图象与函数y＝x图象相交于A、C(－1，y)两点．AB⊥x轴于B，CD ⊥x轴于D(如图)，则四边形ABCD的面积为________．(3)如图，点A在双曲线y＝1x上，点B在双曲线y＝3x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为________．第(3)题图解后感悟图【解后感悟】反比例函数y＝kx中k的几何意义：如图，点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，设点P的坐标为(x，y)，则PA＝|y|，PB＝|x|.S矩形PAOB＝|x||y|＝|xy|，∵y＝kx，∴xy＝k，∴S矩形PAOB＝|k|.即过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两坐标轴围成的矩形的面积为|k|，同时注意数形结合思想、运动思想的运用．2．(1)(2017·绵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的中心在原点，顶点A，C在反比例函数y＝kx的图象上，AB∥y轴，AD∥x轴，若ABCD的面积为8，则k＝____________________.第(1)题图 第(2)题图(2) (2017·张家界模拟)如图，直线x ＝2与反比例函数y ＝2x 和y ＝－1x 的图象分别交于A 、B 两点，若点P 是y 轴上任意一点，则△PAB 的面积是____________________．(3)(2015·嘉兴)如图，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝kx (k ≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，点B 是此反比例函数图形上任意一点(不与点A 重合)，BC ⊥x 轴于点C.①求k 的值；②求△OBC 的面积．第(3)题图类型三 反比例函数与不等式与其他函数、方程和不等式的问题 例3 反比例函数y ＝kx(k ≠0)，(1) 如图，该函数的图象(x ＞0)与直线y ＝ax 交于 点A(1，2)，则不等式ax ＞kx的解集是________．(2)设k ＝3，该函数的图象与y ＝－2x －6的图象 的交点坐标为(a ，b)，则1a ＋2b的值是________．(3)如图，设k ＝3，该函数的图象与一次函数 y ＝ax ＋b 的图象交于A ，B 两点，当一次函数的值大于反比例函数的值时，－1＜x ＜0或x ＞3，则一次函数的解析式为________．【解后感悟】一次函数与反比例函数的交点坐标求法，以及正确地识别图象是解题的关键；注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．3．(1)(2017·扬州市邗江区模拟)点A(a ，b)是一次函数y ＝x －1与反比例函数y ＝4x 的交点，则a 2b －ab 2＝____________________.第3(1)题图例4(1)题图(2)(2015·衢州)如图，已知点A(a ，3)是一次函数y 1＝x ＋b 图象与反比例函数y 2＝6x 图象的一个交点．①求一次函数的解析式；②在y 轴的右侧，当y 1＞y 2时，直接写出x 的取值范围．类型四 反比例函数图象与几何图形的相关问题例4 (2017·烟台)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx 的图象在第一象限交于点P ，若OP ＝10，则k 的值为________．(2)(2017·丽水模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(1，1)，B(2，2)，双曲线y ＝kx与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是________．第(2)题图第(4)题图(3)(2017·宁波)已知△ABC 的三个顶点为A(－1，1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC 向右平移m(m ＞0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x 的图象上，则m 的值为________．(4)(2017·绍兴模拟)如图，点A 在双曲线y ＝3x 上，点B 在双曲线y ＝kx (k ≠0)上，AB ∥x 轴，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，连结OB ，与AD 相交于点C ，若AC ＝2CD ，则k 的值为________．【解后感悟】解题的关键是灵活转换点的坐标与长度之间的关系，充分利用k 的几何意义，数形结合，函数方程思想．4．(1)(2017·成都模拟)如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，则点E 的坐标是（ ， ）。