高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若 ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么 ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。

性质2：若}{n a 为等差数列，且∑∑===kl lk l l ji 11，那么∑∑===kl j k l i llaa 11（脚标和相同则对应的项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===kl lkl lji 11，那么l l j kl i k l a a 11===ππ（脚标和相同则对应的项的积相同）。

性质3：若}{n a 为等差数列，记 ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki k m i m k i k i ki i a S a Sa S ，那么}{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记 ,,,,)1(11211k m i kl m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，那么}{m P 仍为等比数列。

性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则qa S n n -=∞→1lim 1。

例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若132+=n nT S n n ， 则=∞→nn n b a lim（ ）A.1 B.36C. 32D.94 例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ）A.130B. 170C. 210D.260例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若331313++=n n T S n n （1）求2828a b 的值， （2）求使n n a b 为整数的所有正整数n 。

例4、在等差数列}{n a 中，若010=a ，则有等式),19(,192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式 成立。

例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为 。

例6、设1,,2,110|.0{(21===n i n n a n i a a a a n M ，或只取位纯小数十进制）}，n T 是n M 的元素个数，n S 是所有元素的和，则=∞→nnn T S lim。

例7、设A={1,2,…n},n S 是A 的所有非空真子集元素的和，n B 表示A 的子集个数，求nn n B n S 2lim∞→的值。

例8、设数列}{n a 的前n 项和为),2,1(,12 =-=n a S n n ，数列}{n b 满足),2,1(,,311 =+==+k b a b b k k k ，求数列}{n b 的前n 项和。

方法：首先找出}{n a 的通项式，在找出}{n b 的通项式例9、设}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，且)(,,,21233222211a a a b a b a b <===，又12)(lim 21+=+++∞→n n b b b ，试求}{n a 的通项公式。

例10、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且)(),1(23N n a S n n ∈-=，数列}{n b 的通项式为34+=n b n ，（1）求数列}{n a 的通项公式，（2）若},,,{},,,{2121 n n b b b a a a d ∈，则称d 为数列}{n a 与}{n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列}{n d ，证明：}{n d 的通项公式为)(,312N n d n n ∈=+。

例11、)4(2≥n n 个正数排成n 行n 列：,11a ,12a ,13a n a 1 ,21a ,22a 23a n a 2,1n a ,2n a ,3n a nn a其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知163,81,1434224===a a a ，求11a +22a ++33a +nn a 的值。

作业：1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n 组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}、{3，5，7}、{9，11，13，15，17}….，则1991位于 组中。

2、在等差数列}{n a 中，公差0≠d ，412a a a 与是的等比中项，已知数列,,,,,,2131kn k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项公式。

3、设正数数列}{n a 满足32,122++=+=n n n n n a a b a S ，（1）求数列}{n a 的通项公式，（2）设)(22222mn b a n m b a M n m n m +-+++=，试求M 的最小值。

二、数学归纳法数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力； （2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。

第一数学归纳法：设)(n T 是一个关于自然数n 的命题，满足以下条件：（1）)1(T 是成立的，（2）假设)(k T 成立能推出)1(+k T 成立，则命题对一切自然数n 都成立。

第二数学归纳法：设)(n T 是一个关于自然数n 的命题，满足以下条件：（1）)1(T 是成立的，（2）假设)1(T ，)2(T ，…)(k T 成立能推出)1(+k T 成立，则命题对一切自然数n 都成立。

解题思维过程：尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。

解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。

例1、已知对任意自然数n ，有2113)(0∑∑===>nj j nj jn a aa 且，求证n a n = （1989年高中）例2、用n S 表示n 2,3,2,1 的各数的最大奇数因子之和，求证：)24(31+=nn S例3、设}{n a 是正数数列且满足)1(21nn n a a S +=，求数列}{n a 的通项公式。

方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明例4、已知数列}{n x 满足：11=x ，当1≥n 时，有))(1(32(413221123121+--++++=++++n n n n n n x x x x x x n x nx x x x x x x ），试求数列}{n x 的通项公式。

方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明例5、一个数列}{n V 定义如下：)1(,)2(,25,2121110≥--===-+n V V V V V V n n n ，证明：对于自然数n ，有])1(2[312][n nn V --=。

这里][n V 表示不超过n V 的最大整数。

（IMO18-6）方法：变化形式例6、设数列}{n a 满足：a a a a a nn +=+=+1,111，这里10<<a ，求证：对所有的自然数n ，有1>n a 。

（1977年加拿大数学奥林匹克）例7、已知n a a a ,,21是n 个正数且满足121=n a a a ， 求证：nn a a a 322221≥++⋅+）（）（）（例8、已知 a, b 是正实数，且满足111=+ba ，试证：对每一个自然数n ，有 1222)(+-≥--+n n n n nb a b a三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式1、转化：最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和类型：（1）b aa a n n +=-1，化归成)(1λλ+=+-n n a a a 型；（2）n n n b d ca a ⋅+=+1，化归成)(11--+=+n n n n b a c b a λλ型；（3）r b d ca a n n n +⋅+=-1，化归成)(11u b a c u b a n n n n ++=++--λλ型； （4）d cn pa a n n ++=-1，化归成])1([1u n a p u n a n n +-+=++-λλ型； （5）cda ca a n n n +=--11，化归成c da a n n +=-111型；（6）21--+=n n n qa pa a 型例1、、已知数列}{n x 满足：11=x ， 2111)1(4,-+=>++-n n n n n n x x x x x x 且，试求数列}{n x 的通项公式。

方法：开方转化成等差数列的形式例2、设数列}{n a 满足：43,111+==+n n a a a ，求}{n a 的通项公式。

例3、设数列}{n a 满足：),2,1(,1,11221 =+===++n a a a a a n n n ，求2004a 。

例4、设数列}{n a 满足：n a a n a n n +=+=+11)1(,1，求2005a 。

2、变换（代换）：三角代换、代数代换 例1、已知11011,2---+==n n n a a a a ，求n a 。

方法：观察特点，联想到正切公式例2、数列}{n a 满足：)24141(161,111n n n a a a a +++==+，求n a 方法：含根式，通过代换转化为不含根式的递推式例3、设n a a a ,,21满足关系式3,18)6)(301==+-+a a a n n 且（，则=∑=ni ia 01方法：倒数关系不易求解，通过代换转化为熟悉的形式例4、给定正整数n 和正数M ，对于满足条件：M a a n ≤++2121的所有等差数列n a a a ,,21，试求1221++++++=n n n a a a S 的最大值。

方法：根据特点，三角代换3、特征方程及特征根求解递推式对于二阶线性递推数列数列}{n x 满足：012=++++n n n bx ax x ..（1）其中b a ,为常数，若有等比数列}{n x 满足等式（1），则x 必满足相应的方程：0)(2=++=b ax x x f …….（2），称此方程（2）为（1）的特征方程。

数列}{n x 的通项公式与特征方程的根有如下关系：当042>-b a 时，方程（2）有两个不相同的实数根21,q q ，则数列}{1n q 、}{2nq 均是（1）的解，并且对任意常数21,c c 有}{2211n nq c q c +也是（1）的解（通解），21,c c 由初值确定。