2012年＂全国大学生数学建模竞赛＂暑期模拟赛封面参赛题目数学建模竞赛成绩的综合评价与预测模型参赛编号2012007皖西学院应用数学学院2012.8数学建模竞赛成绩的综合评价与预测模型摘要本文把所给的数据进行整理后，运用基于层次分析法的综合评价模型，灰色神经网络模型和Topsis综合评价法三种模型解答了问题一和问题二。

并且对问题三，我们给出了认为还需要考虑的因素才能对各高校数学建模成绩科学、合理地进行评价和预测。

针对问题一，我们建立了基于层次分析法的综合评价模型，我们通过求解“建模水平Q”这一数学指标来对安徽高校的建模水平进行综合排序。

首先，运用层次分析法的相关知识，求出安徽各个高校获得赛区一等奖、赛区二等奖、赛区三等奖的特征向量=（0.6442 0.2706 0.0852 ），用向量C=[c1j]（j=1,2,3）来表示安徽赛区各个高校的获奖情况。

由公式求出各个高校每年的建模水平，进而得出每年各个高校的排序。

考虑到高校各年的成绩对综合排名的不同影响，这里对五年的成绩再一次进行加权，求出年份权重，继而求出建模水平，对各个高校进行综合排序。

前五名依次为：安徽大学、解放军陆军军官学院、安徽财经大学、中国科技大学、解放军电子工程学院。

对2012年各校数学建模成绩的预测，我们采用灰色模型和神经网络模型结合的灰色神经网络模型，通过 GM（1，1）进行初预测，而后运用 BP 神经网络进行再预测。

针对问题二，考虑到所给数据量大、时间跨度长等特点，从数据中总结出，年均获奖组数、稳定性、参赛率、高教社杯获得情况四个因素，采用Topsis 综合评价法，鉴于篇幅有限，我们选取了49所本科和40所专科学校，先对10所本科高校进行综合排序，再用相同的方法对所选高校进行排序针对问题三，问题三的解决主要是对问题一问题二的总结与拓展，在求解问题一和问题二时，我们发现有些高校分别在安徽省和全国有着不同的排列顺序，通过网络上搜集相关资料，我们发现参赛经历、师资力量、学校受重视程度、学生的学习能力等因素对学校综合排名有影响。

关键字层次分析法综合评价模型灰色神经网络模型 Topsis综合评价法一问题重述1.1 问题背景数学建模竞赛（Mathematical Contest in Modeling，缩写为MCM）于1985年最先出现于美国，1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年10月中国工业与应用数学学会（CSIAM）成立，CSIAM下属的数学模型专业委员会开始考虑创办我国自己的大学生数学建模竞赛。

近20年来，CUMCM的规模平均每年以20％以上的增长速度健康发展，是目前全国高校中规模最大的课外科技活动之一。

因此，在数学建模活动开展20周年之际，有必要对以往的数学建模工作进行总结及对未来的发展进行预测。

1.2 需要解决的问题（1）利用附件1中的数据，试建立评价模型，给出安徽赛区各校建模成绩的科学、合理的排序；并对安徽赛区各院校2012年建模成绩进行预测；（2）利用附件2中的数据，给出全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩的科学、合理的排序；（3）你认为如果科学、合理地进行评价和预测，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑那些因素？二问题分析问题一要对高校的数学建模成绩进行排名必须找到一个量化的数学指标去衡量成绩的差别，本文定义综合成绩Q作为此衡量标准，作为一个综合评价指标，Q值的大小不仅与学校得奖的等级、数量有关，还与每年学校成绩的进步、倒退有关，可以通过赋予各年成绩不同权值表示每年成绩的进步、倒退对Q值的影响；赋予省级一等奖、省级二等奖、省级三等奖以不同的权值来表示各奖项对Q值贡献不的同。

权重的确定可以借助层次分析法。

由此可根据Q1的值，对各校数学建模竞赛成绩进行综合排序。

对于预测问题，我们构建了一种灰色神经网络模型来预测2012年安徽赛区各高校的数学建模成绩。

灰色系统建模方法简单，但不具备并行运算的能力,模型精度欠高，而神经网络可以实现非线性映射,具有并行计算。

两者各具所长,将两者结合构成灰色神经网络模型(GM-BP),则优点兼具"灰色模型可以采用少量数据建模,其建模是利用累加生成的新数据,由于累加数据具有单调增加趋势,在一定程度上弱化原始数据的随机性,容易找出数据变换规律,使得神经网络中的非线性激励函数易于逼近,可修正灰色模型的结果。

灰色神经网既是两个理论的融合,也是其各自的展和新的研究领域本文我们通过 GM（1，1）进行初预测，而后运用 BP 神经网络进行再预测，。

这种组合预测方法能够对单一预测模型进行混合处理，得到一个包含各种模型预测信息的新的预测模型问题二问题中的排序可认为是评价问题，也就是对各个学校的竞赛成绩做一个综合评价，那就要对数据进行合理分析，考虑多方面因素，确定各因素的权重，按照适合的方式处理后对各个学校的多年来的取得的成绩进行评定，最终得到一个科学合理的排序。

三模型假设1.假设题目中所给的数据都是客观公正、真实可靠；2.假设各参赛人员所处环境相同且均稳定发挥；3.假设每年的建模试题难度大致相同；4.假设评委老师绝对公平，奖励等级的评定公平、合理；5.假设各校的综合排序只与成绩有关6.假设参赛人数和获奖人数都线性增长7.各个去年参加竞赛的高校2012年都会参加竞赛，不会出现无人参赛的情况，且参赛人数线性增长或无多大的波动四符号说明λmax：最大特征值ω：特征向量1Q1：各高校每年的综合成绩)0(x：原始非负时间序列)1(x：累加生成序列a ： 待辨识参数 u ： 待辨识内生变量ˆa au ⎛⎫= ⎪⎝⎭：待辨识向量 U ：一致性检验系数L W W W ,...,)2()1(：权重值1E ：误差测度(1)(2)()21(...((())...))L i L iO F F F PW W W = ：实际输出五 模型的建立与求解5.1模型︱（解决问题1.2（1）中的的排序问题）1、模型的建立第一步：构造省级一等奖、省级二等奖、省级三等奖的正互反矩阵[]a ijA =(i,j=1,2,3),其中aa a jiij ij 1,0=>，易见1=ii a ，n i ,,1 =。

关于如何确定a ij 的值，Saaty 建议引用数字1~9 及其倒数作为标度。

表1 列出了1~9 标度的含义：表1-1此处我们取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/16/1413/1631A 利用matlab 编程求出成对比较的最大特征值λmax和最大特征值对应的特征向量())3,2,1(11==j p jω,此特征向量即为奖励等级的权值向量。

第二步：一致性检验构造出的成对比较矩阵通常不是一致阵，但为了能用它的对应于特征根λ的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应该在允许的范围内，Satty 将 CI=1--n nλ定义为一致性指标。

CI=0时A 为一致阵；CI 越大A 的不一致程度越严重；为了确定A 的不一致程度的允许范围，需要找出衡量A 的一致性指标CI 的标准。

Satty 又引入了平均随机一致性指标RI ，对n = 1,…,9，Saaty 给出了RI 的值，如表1-2 所示。

表1-2对于n>=3的成对矩阵A ，将它的一致性指标CI 与同阶的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR 当1.0<=RICICR 时认为Ａ的不一致程度在允许的范围内，可用其特征向量作为权向量。

第三步：安徽省各高校数学建模各等级得奖数量的向量)3,2,1(11=⎪⎭⎫ ⎝⎛=k kc C综合成绩：()ω111•=C Q t （1）根据()t Q 1就可以对07,08,09,10,11年的安徽省各高校的数学建模成绩进行排名。

第四步：对安徽省各高校五年年的成绩进行综合排名考虑到综合排名应当反应一个学校的当前的综合实力，选取近五年的建模成绩作为排名的根据；由于要考虑各校建模成绩的进步对综合成绩的影响，这里对四年的成绩求加权平均值，权值的确定仍然用层次分析法得出。

由9~1尺度确定成对比较矩阵A 1[])5,4,3,2,1,(,1==j i a A ij对比较矩阵进行一致性检验：CI=1--n nλRICICR ==0.0152<0.1 所以一致性检验通过。

利用matlab 编程得出成对比较矩阵的最大特征根λ2max 和此特征值对应的特征向量即每年的排名对总排名的权重ω2根据上面算出的各高校每年的排名)(1t Q ，由ω21)(•=t Q Q （2）即可算出各高校数学建模成绩的综合排名。

2、模型的求解利用excel 将附录一给出的数据进行筛选处理，统计出安徽省各高校的各年数学建模成绩部分结果表1-3（剩余部分见附录5）通过matlab 编程（程序见附录1）求出比较矩阵A 的最大特征值λmax=3.0536；此特征值对应的特征向量即省级一等奖、省级二等奖、省级三等奖的权值1ω=[0.6442 0.2706 0.0852 ]T ，各高校获得的奖项数向量C=[c 1j ](j=1,2,3省级一等奖、省级二等奖、省级三等奖)；由于每年综合成绩：C Q •=ω11根据Q 1的大小可得每年安徽省各高校的排名部分如表1-4（其余见附录5）：合肥学院0 0 1 0.085巢湖学院0 0 1 0.085宿州学院0 0 1 0.085黄山学院0 0 1 0.085表1-4Q利用excel软件再次进行统计得出将安徽省各高校每年的)(1t20072008200920102011院校名称中国科技大学 3.376 3.4568 4.5176 7.4878 2.5384 皖西学院 1.9134 2.9126 2.9126 0.61 1.8792 铜陵学院 1.3734 0.355 1.6434 0.27 1.1692 宿州学院0.085 1.3734 0.27 0.255 0.34马鞍山师范高0 0.085 0 0 0等专科学校解放军陆军军4.6265.2852 8.9146 7.052 9.6246官学院解放军电子工3.1018 3.9502 3.2826 3.82684.386程学院江淮学院0.44 0.355 1.1692 1.0842 0.085 黄山学院0.085 0.085 0.44 0.27 0.085 淮南师范学院0.17 0.085 0.44 0.9842 1.7284淮北师范大学0 0 0.27 0.6442 0信息学院淮北师范大学0.525 0.085 1.5242 0.88 2.5576河海大学文天0 0 0.54 1.1692 2.1876学院合肥学院0.085 0.54 0.27 0.525 1.3734 合肥师范学院0.355 0.355 1.1692 1.2884 0.27 合肥工业大学 1.7092 3.0826 3.2676 1.3392 5.6786阜阳师范学院0 0 0 0.27 0.085 信息工程学院阜阳师范学院0.44 0.795 0.992 0.71 2.2684 滁州学院0.9842 0.795 0.8992 1.1692 1.7284 池州学院0 0 1.1842 0.625 0.27 巢湖学院0.085 0.6442 0.17 1.9134 0.88 蚌埠学院0.81 0.9142 0.6442 1.2884 0.6442 安庆师范学院 1.4392 1.945 0.8742 3.2334 4.2668 安徽新华学院0 0.27 0.625 0.085 0.085 安徽师范大学 1.4242 3.0976 2.6384 5.1318 7.8828表1-5计算年份权重：根据9~1分度构造年份的成对比较矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12/13/14/15/1212/13/14/13212/13/143212/1543211A 通过matlab 编程（见附表）可以得到A 1的最大特征根0681.52max =λ， 对应于此特征根的特征向量即年份权重()T0618.0,0973.0,1599.0,2625.0,4185.02=ω；对成对比较矩阵进行一致性检验得：1.00152.0<==RICICR ，不一致程度在允许范围内，一致性通过,可以将所得的特征向量作为权向量。