是以(1, 1, 0)为球心, 半径为2的球面.
二、柱面
由一族平行直线形成的曲面叫做 柱面，这些 平行的直线称为柱面的 母线，在柱面上与各母线 垂直相交的一条曲线称为柱面的 准线，通常用垂 直于母线的平面去截柱面就得到 一条准线L，准 线不是唯一的 .柱面也可以看成由一条动直线 L沿
定曲线C平行移动所得到的曲面， L称为母线，C
若球心在坐标原点 ,则球面方程为 :
x2 + y2 + z2 = R 2
将上述方程展开得
x2
?
y2
?
z2
?
2x0 x
?
2 y0 y ?
2z0z ?
x2 0
?
y2 0
?
z2 0
?
R2
即 x 2 ? y2 ? z2 ? 2ax ? 2by ? 2cz ? d ? 0
其中 a
?
? x0
,b ?
? y0
,c ?
二次曲面
球面 柱面 锥面 旋转面 二次曲面 小结
在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0
? 表示空间曲面，而
F ?x G?x
, ,
y, y,
z z
?? ??
0 0
则表示空间曲线
.
本节主要讨论一些常见的曲面 . 研究空间曲面方
程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状 .
所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平
因此该柱面方程中不含有 z , 可设柱面方程为 :
F (x , y) = 0
它与 xoy 面的交线 就是它的一条准线 .
? F (x, y) ? 0
? ?
z
?0
一般地,在空间直角坐标系中 ,方程 F (x , y) = 0
(不含z), 表示母线平行于 z轴的柱面 ,它的一条准线
为
? F (x, y) ? 0
x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 x1 ? x 0 y1 ? y0 z1 ? z0
同时点 P1(x1, y1, z1) 满足:
F1(x1, y1, z1) = 0, F 2(x1, y1, z1) = 0
由上面四个等式消去参数 x1, y1, z1可得一个
三元方程 :
F (x, y, z) = 0
o
y
面.
x 图6.7
下面建立锥面的方程 .
已知锥面的顶点为 A(x0, y0, z0) , 准线为
L:
???
F1( x , F2 ( x ,
y, z) y, z)
? ?
0 0
,设
P(
x,
y,
z)
为锥面上任一点
,
母线AP交准线于点 P1(x1, y1, z1) , 则由直线的两 点式方程知母线 AP的方程为 :
表示什么曲面 ?
?1? y2
b2
?
z2 பைடு நூலகம்2
? 1;
?2?x 2
?
y2
? 1;
?3?x 2
?
y?
0;
?4?x 2 ? z2 ? 1;
a2 c2
?5?x ? y ? 0
解 (1) 椭圆柱面:母线平行于 x轴, 准线是 yoz面上的椭圆 (图6.2) ;
(2)圆柱面:母线平行于 z轴, 准线是xoy面上的单 位圆 (图6.3) ;
? z0
,d
?
x2 0
?
y2 0
?
z2 0
?
R2
这个方程的特点为 :
(1) 它是三元二次方程 ;
(2)平方项的系数都相等且不为零 (可设为1);
(3)不含有交叉项 xy, yz , zx.
一般地 , 满足上述三个条件的方程 , 其图形总
是一个球面 .事实上 , 通过配方法 ,每一个这样的方
程都可以化为 :
面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状，
然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌 .
一、球面
与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面 .下面
建立球心在点 P 0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P( x, y, z) 在球面上 ,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为 : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0)2 ? (z ? z0 )2 ? R 2
( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? (z ? z0 )2 ? k
当 k ＞0 时,表示球心在 P0(x0 , y0 , z0 ),半径为 k 的球面方程 ; 当 k = 0 时,球面缩为一点 ;当 k ＜0 时, 无图形(通常称为虚球面 ).
例如，方程 x 2 ? y2 ? z2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 配方后得 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? z2 ? 4
o
x
z 图6.5
三、锥面
过一个定点的直线族形成的曲面叫做 锥面.
这些直线叫做它的 母线，定点叫做它的 顶点.在
锥面上与各条母线都相交的曲线叫做它的一条
准线， 准线不是唯一的，通常可取在一个平面
上的截线作为其准线（图 6.7）.
如果准线是一个圆， z
顶点在通过圆心且垂直
于此圆所在平面的直线
上，这样的锥面叫 圆锥
这就是以A为顶点L为准线的锥面方程 .
一般地, 方程
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
0 ?a
?
b?
0,c ?
0?
表示一个顶点在原点的锥面 ,用平面 z = c 去截它,
就得到一条准线
? ? ?
x2 a2
?
y2 b2
?1
?? z ? c
这是一个椭圆 , |c|由0逐渐增大,椭圆的半轴也
由0逐渐增大 .用x = x0 去截,当 | x0 | = 0 时,截线是一 对相交直线 ,当| x0 | 从0增大到+∞时,截线是半轴单
称为 准线 .（图 6.1）
z
下面建立柱面方程 .
设有一柱面 , 选取 坐标系，使该柱面的母 线平行于 z轴, 点P(x, y, z)
o
L
y
为柱面上任一点 , 当该点 x 平行于z轴上下移动时 ,它 仍保持在柱面上 ,也就是说,
C 图6.1
不论z为何值, P(x, y, z)的坐标都满足柱面方程 .
(3)抛物柱面 :母线平行于 z轴, 准线是 xoy面上的
抛物线(图6.4) ;
(4)双曲柱面 :母线平行于 y轴, 准线是xoz面上的
椭圆(图6.5) ;
(5)过z轴的平面:母线平行于 z轴, 准线是xoy面上
的直线(图6.6) ;
z
y
图6.3
图6.2 z
x
y
x
z z
o
y
x 图6.4
y
o y
x 图6.6
? ?
z
?0
方程 G ( x , z) = 0(不含y), 表示母线平行于 y轴
的柱面 ,它的一条准线为
? ? ?
G(x, y
y)
? ?
0 0
方程 H( y, z) = 0(不含x), 表示母线平行于 y轴
的柱面 ,它的一条准线为
? H ( y,z) ? 0
? ?
x
?0
例10 说明下列方程在空间直角坐标系中各