研究生课程考试答题纸研究生学院第一题 正交小波基的构造和性质一、 由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。
（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (1-2)（3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)或)(πωωω=-e G j (1-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (1-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)例1 ．Haar 小波的构造 选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。
但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。
首先给出Riesz 基的定义：设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有222)(∑∑∑≤-≤kk kk kk C B k t C C A φ (1-7)可以证明式（1-7）等价于∞<≤+Φ≤<--∑B l A l121)2()2()2(0ππωπ因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得)(])2([)(212#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-∑ll显然，)(#ωΦ满足1)2(2#=+Φ∑ll πω即)(#k t -φ是正交基。
且)(#k t -φ可以构成{}Zj jV ∈的多分辨率分析框架。
由此可由)(#k t -φ入手，构造一个正交小波基。
可以证明如下：（1）除了0=N 时（此时为Haar 小波）例外，其他)(k t -φ都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程)(#t φ。
（2）正交的)(#t φ及其构造的小波函数)(t ψ（Battle －Lemarie 小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴，即无限长）。
（3）当N 为偶数时，#φ（或φ）关于21=t 对称，当N 奇数时，#φ（或φ）关于0=t 对称。
而所有Battle －Lemarie 小波关于21=t 对称。
并且已证明#φ和ψ都具有指数衰减性。
二、 紧支集正交小波基的性质和构造1. 紧支集正交小波基的构造构造紧支集正交小波基的双尺度方程()∑=-=Nn n n t h t 0221)(φφ 也就是构造特征多项式∑==Nn n n z h z H 021)(的方法可归结为下列步骤： 1）选定一整数2≥L 。
2）选定一多项式，使它满足以下三式：)21()21(y R y R +-=- (1-10) 10,0)21()(≤≤≥-+y y R y y P L L (1-11)其中)(y P L 满足∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=101)(L j L jj L y P ，其中)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (1-12) )1(22)]21()([sup -<-+L L L y R y y P (1-13)3）寻找一实系数三角多项式)(z Q ，使得)21()()(2z R z z P z Q L L -+=。
选取方法是：从)21()(z R z z P L L -+的每四个复零点中选两个，每对实零点中选一个，按照下式构造)(z Q 。
4） 则得)()21()(z Q zz H += 最简单的情况是取])1,0[(0∈≡y R ，此时)(y P L 是正系数多项式，所以条件式（1-12）显然得到满足，且因当0≥y 时，)(y P L 单调增加，因此，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∈L L L L L L P y P L L 1211221112)1()(sup [0,1]y (1-14) )1(212021221--==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<∑L L k k L 故条件式（1-14）也得到满足。
于是利用Riesz 引理即可构作实系数三角多项式∑-==120)()(L k jn L j L e n q e Q ωω，满足))cos(1(21())2((sin )(22ωωω-==L L j P P e Q由L P 构作Q 时，我们选取时，我们选取L P 在单位圆内的根，这相应于设计滤波器时选取最小相位。
当3,2=L 时，)(ωj L e Q 的具体解析式为])31()31[(21)(2ωωj j e e Q --++=])1025101()101(21025)101[(41)(23ωωωj j j e e e Q +-++-++++=-202φD 4-202φD 6-202φD 8-202φD 10-202φD 12-202φD 16-101φD 20-101φD 40图1-1 Daubechies 尺度函数（N ＝4，6，8，…40）-202ψD 4-202ψD 6-202ψD 8-202ψD 10-202ψD 12-202ψD 16-202ψD 20-101ψD 40图1-2 Daubechies 小波函数（N ＝4，6，8，…40）当10~4=L 时相应的尺度方程系数见表1，其相应n h 的非零长度为L N 2=，图1-1和1-2示出了一些尺度函数与小波母函数的图形。
对这样的紧支集小波，它的一般性质如下： （1） 支集大小由式（1-14）得到不同L 下尺度函数的支集为],0[]12,0[supp N L L =-=φ其相应的小波母函数的支集为]),1([]12),22([supp N N L L L --=---=ψ（2） 对称性问题尽管紧支集小波有支集紧的优点，但它一般没有对称性。
可以证明，除Haar小波（其)(t ψ关于21=t 为反对称，其)(t φ关于21=t 为对称）外，其他所有连续的紧支集正交小波基及其尺度函数都不具有任何对称性。
（3） 光滑性问题紧支集多尺度生成元φ的光滑性也较差。
要增加φ的光滑度，则要增加支集长度，即时域支集变长，其光滑度也即频域局部性变好。
（4） 消失矩特性对某些应用来说（特别在指数计算方面），小波不仅应当是零均值的（满足可容许性条件），而且还必须具有高阶消去性。
小波的消失矩定义如下：若1,2,1,0;0)(-==⎰M m dt t t mψ我们称小波)(t ψ具有M 阶消失矩。
二、运用小波包的方法，在MATLAB 中对tieda_noise.bmp 图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。
二、运用小波包的方法，在MATLAB 中对tieda_noise.bmp 图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。
（30分）。
程序如下：clc;clear; hold on% 绘制原始无噪图像figure(1);% 绘制原始彩色图像[a,map]= imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_RGB.bmp','bmp' ) ;[ A, map] = rgb2ind(a, 256) ;save 'my' A map; load my;colormap(map) ;image(A) ;title('原始彩色图像')figure(2);subplot(222);b= imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_gray.bmp', 'bmp' ) ;B=double(b);image(B) ;title('原始无噪图像')% 装载原始有噪图像[X,map]= imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_noise.bmp', 'bmp' ) ;%load Y;Y=double(X);nbc = size(map,1);% 使用coif2执行3层小波包wname = 'coif2'; lev = 3;tree = wpdec2(Y,lev,wname);% 由第1层的高频系数估计噪声的标准差det1 = [wpcoef(tree,2) wpcoef(tree,3) wpcoef(tree,4)];sigma = median(abs(det1(:)))/0.6745;% 使用wpbmpen进行全局阈值选择alpha =0.9;thr = wpbmpen(tree,sigma,alpha);% 使用wpdencmp函数，采用上面的阈值和软阈值处理方式，保存低频，进行图像降噪keepapp = 1;xd = wpdencmp(tree,'s','nobest',thr,keepapp);% 画出原始图像和降噪后的图像colormap(gray(nbc));subplot(223), image(wcodemat(X,nbc))title('原始有噪图像')subplot(224), image(wcodemat(xd,nbc))title('降噪后的图像')降噪结果：降噪前、降噪后和无噪原始图像详见图2-1和2-2。
（1）通过降噪后的图像和降噪前的图像相比，基本上达到了降噪的目的，图像得到了改善。
（2）通过降噪后的图像和未加噪的图像对比，该方法只起到了降噪的目的，并不能完全达到去噪的目的，并不理想。
图2-1 原始彩色图像图2-1 降噪前后图像对比理论依据：本程序从阈值函数和阈值估计两方面对图像去噪。