3.1 随机事件及其概率
1．随机现象
(1)确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．
(2)随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．
预习交流1
确定性现象是指一定条件下事先就能断定其一定发生的现象吗？
提示：不一定．确定性现象是指在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象．如正常情况下，水向高处流，是事先能断定不发生的现象，也是确定性现象．2．随机事件
(1)试验与事件：对于某个现象，如果能让其条件实现1次，那么就是进行了1次试验．而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．
(2)必然事件：在一定的条件下，必然会发生的事件叫做必然事件．
(3)不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件．
(4)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．随机事件一般用大写英文字母来表示，简称为事件．
预习交流2
随机事件概念中的“一定条件”能否去掉？
提示：不能．事件的结果是相对于“一定条件”而言的，随着条件的改变，其结果也会不同．因此在随机事件的概念中“一定条件”不能去掉．
3．随机事件的概率
(1)随机事件的概率：一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．
(2)概率的性质：概率必须满足两个基本要求：①P(A)的范围是0≤P(A)≤1；
②分别用Ω和∅分别表示必然事件和不可能事件，则P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
预习交流3
“频率”与“概率”之间有何关系？
提示：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值．它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小．我们把这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地看做这个事件的概率．
预习交流4
(1)下列事件：①明天多云；②3＞2；③济南市明年今天的天气与今天的天气一样；④x ∈R ，x 2＋2＜0；⑤走到十字路口，遇红灯；⑥任给x 0∈R ，x 0＋2＝0.
其中随机事件的个数为__________．
(2)从装有3个红球、2个绿球的袋子中任取两个小球，这两个小球都是绿色的．这一事件是__________事件．(填“必然”、“不可能”或“随机”)
(3)数学测试后，成绩统计显示全班50名同学中，有10名同学的分数在90分以上．若设“分数在90分以上”为事件A ，则事件A 发生的频率为__________．
提示：(1)4 (2)随机 (3)1
5
一、事件类型的判断
指出下列事件中哪些是必然事件、不可能事件、随机事件： (1)明天某人的手机接到20次呼叫； (2)三角形的内角和是180°； (3)李四走到十字路口遇到张三； (4)某人购买福利彩票5注，均未中奖； (5)若x ∈R ，则
x 2＝x ；
(6)在标准大气压下，温度低于0 ℃时，冰融化．
思路分析：本题可以根据事件的定义去判断，解决此类问题的关键是根据题意明确条件，判断在此条件下，事先能否断定出现某种结果．
解：明天某人的手机接到的呼叫次数不确定，故(1)为随机事件；同理由事件的定义得：(2)是必然事件；(3)(4)是随机事件；(5)是随机事件；(6)是不可能事件．
1．在下列六个事件中，随机事件的个数为__________．
①如果a ，b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a ；②从分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③投掷一枚均匀的硬币，正面朝上；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；⑥异性电荷，相互吸引．
答案：3
解析：由题意知，①⑥是必然事件，⑤是不可能事件，②③④是随机事件． 2．下列事件：
①同一门大炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
②某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意拨了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；
③直线y ＝2x ＋6是定义在R 上的增函数； ④“若|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a ，b 同号”； ⑤射击运动员射击一次，射中10环． 其中是必然事件的为__________． 答案：③
解析：①②④⑤为随机事件，③为必然事件．
3．指出下列事件哪些是必然事件、不可能事件、随机事件： (1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军； (2)三角形的两边之和小于第三边；
(3)对数函数y ＝log a x (a ＞1)在(0，＋∞)上是增函数； (4)北京明年1月1日下雨；
(5)将一个骰子抛掷两次，所得点数之和大于7； (6)太阳从西边升起．
解：由题意知，(1)(4)(5)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．(2)(6)中的事件一定不会发生，是不可能事件．(3)中的事件一定会发生，是必然事件．
对于一个事件，如果条件发生改变，结果就可能不同．
对有关事件概念的理解是解题的关键，要特别注意事件的条件对事件结果的影响． 二、概率与频率的关系
(1)(2)这个射手射击一次便击中靶心的概率约是多少？
思路分析：理解“频率的稳定值就是概率”是解答本题的关键，可根据(1)的结果观察频率m n
稳定在哪个常数上，即可求出击中靶心的概率．
解：(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.90左右，所以这个射手击中靶心的概率约是0.90.
1．某人将一枚硬币抛掷了10次，正面朝上出现了6次，则该事件发生的频率为__________．
答案：35
解析：该事件发生的频率为6
10＝3
5
.
2．下表中列出了10次试验抛掷硬币的结果，n 为每次试验抛掷硬币的次数，m 为硬
解：由
n
可分别求出这10次试验中“正面向上”这一事件的频率依次为：
0.502,0.498,0.512,0.506,0.502，0.492,0.488，0.516,0.524,0.494.这些数字在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”这一事件发生的概率为0.5.
概率与频率的关系
(1)频率是概率的近似值
如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，可以将事件A 发生的频率m n
作为事件A 的概率的近似值，即P (A )≈m n
；
(2)概率是频率的科学抽象
随机事件的概率，一般都是要通过大量重复试验来求得其近似值．
(3)频率具有随机性，它反映的是随机事件出现的可能性；而概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性，如果一个事件是随机事件，即使该事件的概率再大，那么，在一次试验中，它可能发生，也可能不发生．
1．以下现象是随机现象的序号是______． ①若a ，b ∈R ，则a ·b ＝b ·a ； ②打开电视，正在播放《新闻联播》； ③地球上，苹果熟了会落地； ④对半径为R 的圆，其面积为πR 2； ⑤在艺术节的晚会上，灯光出现故障；
⑥种下的一粒煮熟的种子发芽． 答案：②⑤
解析：①③④必然发生，⑥不可能发生，都是确定性现象．②⑤是随机现象． 2．下面给出了四种现象：
①若x ∈R ，则x 2＜0；②没有水分，种子发芽；③某地明年8月8日天晴；④若平面
α∩平面β＝m ，n ∥α，n ∥β，则m ∥n .其中是确定性现象的是__________．
答案：①②④
解析：根据确定性的定义可知应填①②④.
3．气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，以下理解正确的序号是__________． ①本市明天将有70%的地区降雨； ②本市明天将有70%的时间降雨； ③明天出行不带雨具肯定要淋雨； ④明天出行不带雨具淋雨的可能性很大． 答案：④
解析：概率是随机事件发生的可能性大小的一种度量，“本市明天降雨概率是70%”指的是本市明天降雨的可能性是70%，即降雨的可能性比较大．
4．某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
______________．
答案：0.2,0.5,0.3
解析：由题意得所求频率分别为： 20
100＝0.2，50
100＝0.5，30
100
＝0.3. 5．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，下表是统计结果：
(1)(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率； (3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．
(3)经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，这都是贫富差距带来的智力差别的原因．。