规定先执行乘积右边的元素再执行乘积左边的元素。
此处类似与算符的乘积。 （ 2 ）两个或多个元素乘积的逆元素等于各逆元 素按相反次序的乘积。即：
ABC XY
1
Y X C B A
1
1
1
1
1
第一节 群的定义
（我们以一个三重积来证明这个定理） 证明：若A，B和C是群元素，它们的乘积D必定也 是一个群元素，即： ABC ＝ D。若用 C-1B-1A-1 右乘
第一节 群的定义
设有一组元素的集合 G{A,B,C,…}，其中定义有
称之为“乘法”的代数运算，给出由任意两个元素
按一定次序结合（相乘）得到确定的一个元素（乘
积）的规则，如果满足下列四个条件： （ a ）具有封闭性：群中任意两个元素的乘积或任 意一个元素的平方，仍然是群中的一个元素。即： A∈G 、 B∈G ， 则 AB∈G ， AA ＝ A2∈G ， BB ＝ B2∈G…。
进行其中的某个动作等效。如：先向左转再向右转
等效与一个立正。 （2）单位元素：单位元素为立正； （3）满足结合律； （ 4 ）逆元素：每个动作都有一个逆动作。如：向 后转的逆动作就是其自身。
第三节 群的乘法表
群中元素的数目为有限的称为有限群，群中元素的
数目为无限的称为无限群。
有限群中元素的数目称为群的阶，通常用h来表示。 从群的定义中我们可以看出“乘法”关系对于定义
入两次，不满足重排定理 BA＝E，完成表格如图。
循环群
如果一个h阶群可以定义为其中一个元素X及其X
的全部h个幂，直到Xh＝E，则该群为一个循环群。
上面讲到的三阶群就是一个循环群。
群中三个元素为E、A、B。
A＝A1；B＝A2；E＝AB＝AAA＝A3 循环群的一个重要性质是循环群肯定是阿贝尔群
（群中任意两个元素的乘积都满足交换律，即 AB
系，这个群也就确定了。
第六节 生成元
例如：如下的一个四阶群 G42 E A B C
其 生 成 元 系 是 {A,B} ， {A,C} 和{B,C} 如果生成元系是 {A,B} ，则生
E A
B C
E A
B C
A E
C B
B C
E A
C B
A E
成关系为： A2 ＝ E ， B2 ＝ E ， (AB)2=(C)2=E
例如：由{1,-1}对于数的乘法构成的群G’是由{1,i,1,-i}对于数的乘法构成的群G的一个同态映像。
G4 1 1 1
－1 －1
1
i i
－i －i
i 1
{i,－i} －1 {1,－1} 1
G2
1
1
1
－1
－1
1
－1 －1
i i
－i
－i －1
i 1
－i
－i
－
1
－1
－1
其中，群G’中的1是{1,-1}在群G’中的映像；群 G’
第一节 群的定义
（b）群中元素的乘法满足结合律：
即：A(BC)＝(AB)C
但是一定要注意：群中元素的乘法一般并不满足交
换律。即：AB一般不等于BA。 （c）具有单位元素E： 单位元素与群中其它元素相乘，可以交换顺序，且 等于各元素本身。即：若A∈G，则EA＝AE＝A 单位元素又称为恒等元素。
第一节 群的定义
＝BA）。
低阶抽象群的乘法表
四阶群： G41 E E E A A B B C C
显然，四阶群有一个循环 群，如左图。 A1＝ A； A2＝ B； A3＝C；A4
＝E
在这个四阶循环群中，有 两个群元素 E 和 B 其逆元素是
A
B C
A
B C
B
C E
C
E A
E
A B
其自身。
低阶抽象群的乘法表
四阶群： G42 E A B C
1 1 1 1
1
（证毕）
第二节 群的例子
例1：所有的整数，对于数的加法构成一个群。 第一步：元素间的“乘法”定义为：数的加法。
第二步：满足形成群的四个条件：
（1）封闭性：任意两个整数相加必为一整数； （2）单位元素：单位元素为0； （3）满足结合律：任意整数相加都满足结合律； （ 4 ）逆元素：每个整数都有一个逆元素，即为自 身的相反数。 所以：所有的整数对于数的加法构成一个群。
在四阶群 G42 中，显然只由两 个元素 E 和 A 也可以构成一个 二阶群，这个二阶群我们称为
G42 E A B C
E E A B C
A A E C B
B B C E A
C C B A E
原来四阶群的一个子群。
子群的重要定理： h 阶群的任 意子群，它的阶g必为h的除数。
如：上述四阶群的中由E和A，E和B，E和C可分别构成它的
第一章 群的基础知识
群论是代数学的一个分支，已有一百多年的历史。量 子力学理论差不多从一开始就应用了群论的研究成果。现 在群论在化学中已成为一种不可缺少的数学工具。在化学
中群论的应用则是与对称性紧密联系起来的。具体地说，
我们用群论来帮助弄清楚，由于研究对象中存在这样或那 样地对称性，体系将必然具有些什么性质。体系存在的直 接看得出来的对称性是现象，由此它必然会具有的性质是 本质，沟通这一现象和本质的桥梁就是群论。
第二节 群的例子
例3：集合G{i,-i,1,-1}，对于数的乘法构成一个群。 第一步：元素间的“乘法”定义为：数的乘法。 第二步：满足形成群的四个条件： （1）封闭性：集合中任意两个元素相乘必为集合中 的一个元素，如(－1)×1＝1∈G； （2）单位元素：单位元素为1； （3）满足结合律； （ 4 ）逆元素：每个元素都有一个逆元素，如 i 的逆 元素为－i。所以：集合对于数的乘法构成一个群。
一个群的重要性。同一个集合，“乘法”的定义不
同，就形成不同的群，或者对于一种“乘法”能构
成群，而对另一个乘法则不行。如：全体整数对于
数的加法构成一个无限群，而对于数的乘法则不够
成群。
第三节 群的乘法表
从群的定义中我们可以看出“乘法”关系对于
定义一个群的重要性。同一个集合，“乘法”的定
义不同，就形成不同的群，或者对于一种“乘法”
E
A
A
A
A
E
低阶抽象群的乘法表
三阶群： G3 E E E
首先，我们可以完成如图
所示的部分；
A
A
B
B
接下来，有两种可能：一种 是AA＝B，一种是AA＝E。 若 AA ＝ E ，则 BB ＝ E ，这样， 我们就无法继续完成表格（不符
A
B
A
B
E B
E
B E
A
合重排定理），因此这种可能不
存在。
此时，群元素 B 在第三列被列 只 能 是 AA ＝ B ， 这 样 ， AB ＝
第六节 生成元
如果群 G的元素不能被某一元素 A的乘幂所穷尽，
那么，总可以找到群元素的一个集合 M，群 G中的
任何元素都可以至少用一种方式表示成集合M中元 素的乘幂的乘积的形式，那么我么就称集合M是群 G的生成元系。有时生成元系有多种方式。 由生成元系得到群 G的全部元素的基本关系式叫 做生成关系。既然群 G中的其它元素都可以看成是 由它的生成元系 M派生出来的，生成元系M的性质 就确定了群 G的性质。只要给出生成元系和生成关
在G’中必有gi’gj’=gk’。反之亦然,我们就称群G和群
G’同构。 显然，如果两个有限群是同构的，则不但意味着
它们的元素数目相同，而且具有相同的乘法表。
第五节 同构
G4
1
1
1
－1
－1
1
i
i
－i
－i
i 1
1 －1 i －i
立正 向后转
G4
立正
立正 立正 向后转 向左转 向右转
向后转 向后转 立正 向右转 向左转
群的乘法表的重排定理
乘法表的重排定理：在群的乘法表中，每一个
群元素在每一行和每一列中被列入一次而且只被列
入一次。不可能有两行是全同的，也不可能有两列
是全同的，每一行和每一列都是群元素的重新排列。
第三节 群的乘法表
接下来我们系统的研究一下可能的低阶抽象群！ 一阶群： 二阶群：
G1 E
E E
G2
E
E
向左转 向左转 向右转 向后转 立正
向右转 向右转 向左转 立正 向后转
－1 －1
i i
－i
向左转 向后转 向右转 向左转
向右转
－i －1
i 1
－i
－i
－
1
G4 E A B C
E E A B C
A A E C B
B B C A E
C C B E A
第五节 同态
如果群 G 的 {gp} 对应于群 G’ 的一个元素 gp’ ，若 {gi}↔gi’, {gj}↔gj’, {gk}↔gk’, 在群G中有gigj=gk,则在
第二节 群的例子
例 4 ：四个操练动作：立正、向左转、向右转 、
向后转，如果定义两个动作的组合规律为进行完一
个动作后接着进行另一个动作，则这四个动作构成
一个群。 第一步：元素间的“乘法”定义为：进行完一个动
作后接着进行另一个动作。
第二节 群的例子
第二步：满足形成群的四个条件：
（ 1 ）封闭性：相继进行任意两个动作，其结果与
中的－1是{i,-i}在群G’中的映像。
显然，一阶群是所有群的同态映像。
第六节 生成元
设从群 G{E,A,B, …} 中的一个元素 A 出发，取其
各次乘幂A， A2， A3， …，根据群的定义，这些乘 幂都是群G的元素，如果Ai(i=1,2,3…)全不相同，则 称 A为无穷级元素（显然这只有在无限群中才能出 现）。如果有一个最小的整数 m，使得 Am＝ E，则 说元素A是m级的。如果由群G中的某个元素A的乘 幂可以得到群 G 的全部元素，则群 G 为循环群。把 元素A叫做该循环群的生成元。