M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
注意：同一个力对于不同的参考点(转轴)的力矩 不同，因此说“力矩”时必须指明是相对 于哪一点（或哪一个转轴) 而言的。
M ri Fi i 特别，对刚体 M r dF ( r )
刚体（rigid body） ：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体。（或：任意两质点间距离保持不变 的特殊质点系）。 刚体的运动形式： 平动(translation)、 转动(rotation)。 平动： 刚体内任意两点间连线 的空间方向总保持不变
特点：各点位移、速度、 加速度均相同。 刚体只平动 质点运动
二、质点的角动量定理 1、质点的角动量[旧称动量矩] (Angular Momentum)
质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r ，质点相对于原
点的角动量定义为
L
x
z
r
o
m y
v
L r p r mv 大小： L rmv sin
L r 和p
O
L
L
v

r
mυ
m
方向：服从右手螺旋定则。
r
θ
单位： kg ∙ m2/s
说明：
1）角动量是描述转动状态的物理量； 2）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明是对 哪一参照点而言； [例] 作圆周运动的质点的角动量。
质点以角速度 作半径 为 r 的圆周运动，相对圆心 的角动量大小为：
3、质点的角动量守恒定律：
如 M 0, 则 L 恒矢量
dL M dt
质点所受对参考点 O 的合力矩总为零时，质点对 该参考点 O 的角动量为一恒矢量。 说明：
计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩 M阻。 解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦 阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质 元受阻力矩大， m 细杆的质量密度： l x dm l 质元质量： dm dx o m dx x 质元受阻力矩：
df dm g 2 gr dr
df
dM r df 2 2 gr drRຫໍສະໝຸດ 2Rr Odr
2 M 2 gr dr gR3 3 0
思考： 若圆盘以ω0 的初角速度转动，圆盘转多少圈静止? (解答需要转动情况下的动能定理)
p y pz Lx i Ly j Lz k
Lr p x px i j k 0
[例] 当质点在 xoy 面内作平面运动时，角动量为：
y py
0 ( xp y ypx )k
当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考 点O 的角动量（动量矩），也可称为质点对过 O 点垂 直于运动平面的轴的角动量（动量矩）。
d r sinθ
d
p
(力与力臂的乘积)
方向：右手螺旋定则判定
M r 和F
单位：N∙m （注意：不能写作功的单位J ）
在直角坐标系中，力矩可表示为：
M r F x Fx
i
j y
k z
其中：
F y Fz M xi M y j M zk
4) 角动量的概念，不但能描述经典力学中的宏观运 动，在近代物理理论中仍然是表征微观运动状态 的重要物理量。
例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子还有 内禀的自旋运动，因而具有自旋角动量，等等。 角动量是原子、分子和原子核系统的基本性质之一， 并且只能取特定的不连续的量值，此称为角动量的 量子化。在这些微观系统的性质的描述中，角动量 起着非常重要的作用。
0
2、质点的角动量定理
Lrp
dr dL d mv 0 r F ( r p ) dt dt dt
dL M dt
质点对参考点O 的角动量随时间的 变化率，等于作用于质点的合力对 该点 O 的力矩 。
dp d dr r F r (r p) p dt dt dt
A1B2 e1 e2 A2 B1e2 e1 e1 e2 +A2 B3e2 e3 A3 B2e3 e2 A B A1 A2 B1 B2 +A3 B1e3 e1 A1B3e1 e3 (A1B2 A2 B1 )e3 +(A2 B3 A3B2 )e1 +(A3B1 A1B3 )e2
例1: ，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点，此时m 相对三个点的距离分 别为d1 、d2 、 d3 ，试分别求此时刻质点对三个参 考点的角动量。 d1 m 解： L r p A v 大小：
一质点m，速度为 v
LA d 1 mv LB d 1 mv
LC 0
方向：
B 都垂直纸面向里
d2
d3 C
例2：有一个质量为 m = 1 kg 的物体, 在力 2 F 12t i 6tj 2k (SI单位制) 的作用下运动。 当 t = 0 时，r0 0, v0 0. 求: t = 1s时对原点 M ? L ? 此1s内，力所做的功？对物体冲量？
M r F L r p r mv
0
a F /m t v a (t )dt
0
t A F (t ) dr (t ) F (t ) v (t )dt Ek (t ) Ek (0) t I F (t )dt mv (t) mv0
其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩： M k r F
F Fz F
z
k Fz
O
M z rF sinθ
2）合力矩等于各分力矩的矢量和。
z

r
F F
M M1 M 2 M 3
+
绕质心的转动 rdm rC dm
A B ( A1e1 A2e2 A3e3 ) ( B1e1 B2e2 B3e3 )
B B1e1 B2e2 B3e3 A A1e1 A2e2 A3e3 A B 大小： A B A B sin ( A,B ) (以 A 和 B 为边的平行四边形面积) 方向：与 A 和 都垂直， B 且成由 A 转到 B 的右手螺旋关系 性质： A B ( B A)
2、对转轴的力矩 刚体绕 O z 轴旋转，力 F 作用在刚体上点 P (P点在转动 为力的作用点 P 到 平面内), r 转轴的径矢。
M
z
r
F
*
P

F
F 0 , M
i
i
0
Fi 0 , M i 0
讨论： 1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量：
质点系所受的总力矩（对同一参考点）：
例：如图，长为L 的细棒的质量密 L gdm 度分布为 (l ) 0l / L0 , 其中l 为距左端的长度，求其 a 所受重力对O点的力矩。 O L 解：M r dF r gdm ( l a )er g ( l )dl
e3 A3 B3
预备知识：二矢量的矢积（叉乘）
角动量 角动量定理 (§5.1)
角动量概念的建立，和转动有密切的关系。 在自然界中经常会遇到质点或质点系围绕着某一 个确定点或轴转动的情况。例如，行星绕太阳的公转， 人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的 转动等等。 在这些问题中，动量的有关规律并不能直接用， 这时若采用角动量概念讨论问题就很方便。 转动问题与平动问题的描述有许多相似之处，如： 力的时间累积效应 力矩的时间累积效应

大小： M 方向：
垂直纸面向里
(l a) g sin( / 2)(0l / L0 )dl 0 ( g 0 / L0 cos )( L3 / 3 aL2 / 2)

L

0
M F 对转轴 Z 的力矩 M r F O d M Fr sin Fd d : 力臂 F F F
dM阻 dm g x
细杆受的阻力矩：
l 0
m l
1 1 2 M 阻 dM 阻 gxdx gl mgl 2 2
练习：如图一圆盘面密度为σ，半径为R，与桌面 的摩擦系数为μ，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直 的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。
解：取一小环为面元， 则：dm 2 r dr
dp F, dt
dL ? dt
质点角动量定理的微分形式： dL Mdt
dL M dt

t2
t1
Mdt L2 L1
冲量矩

t2
t1
M dt
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受到 的冲量矩等于质点角动量的增量。
注意： 定理中的力矩和角动量都必须是相对于同一 参考点而言的！ 说明: (1) 冲量矩是质点角动量变化的原因。 (2) 质点角动量的变化是力矩对时间的积累的结果。
L
p
L rmv mr 2
o
r
m
质点作匀速率圆周运动时，角动量是恒量。
3) 在直角坐标系中，角动量的表达式为：