数学建模之概率模型
主讲人： 侯致武 Email: houzhiwu99@
2020年4月21日星期二
概率模型
现实世界的变化受着众多因素的影响，包括 确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手 段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略， 或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用 出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因 素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模 型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随 机因素的影响，建立随机模型——概率模型。
随机模型 确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
概率模型
一、概率论基本知识 二、概率模型的典型案例
一、概率论基础知识
1、古典概型
条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率
P( A | B) P( AB) P(B)
例5 求正态分布N(3,52)的均值与方差. 命令为：[m,v]=normstat(3,5) 结果为：m=3,v=25
(2)若已知取到的是次品,问此次品是哪个厂生产的可能性更大？
解 设A=“取到的是一只次品”,Bi=“所取产品由第i厂提供”,
易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分。
3
(1)由全概率公式: p( A) P(Bi )P( A｜Bi ) i 1 =0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.01
2 分布：chi2
t 分布：t F 分布：F
MATLAB工具箱对每一种分布都提供5类函数，其命令字符为：
概率密度：pdf 概率分布：cdf 逆概率分布：inv 均值与方差：stat 随机数生成：rnd
当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布 命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是 标量、数组或矩阵）和参数即可.
设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，且有P(Bi)>0， i=1,2,…,n,则对E的任一事件A，有:
n
P( A) P(Bi )P( A｜Bi ) i 1
全概率公式
P(Bi
A)
P(ABi ) P( A)
P(A Bi )P(Bi ) ,
n
P(A Bj )P(Bj )
i 1,2, , n
2．概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)
例 2． 计算标准正态分布的概率 P{-1<X<1}. 命令为：P=normcdf(1)-normcdf(-1) 结果为：P =0.6827
3．逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出x ，使得P{X<x}=P，此命令可用来求分位数.
(2)由贝叶斯公式:
25
P(B1|A)
P( A B1 )P(B1 ) P( A)
0.02 0.15 0.0125
0.24
同理 P(B2|A)=0.64, P(B3|A)=0.12 .
以上结果表明，这只次品来自乙厂的可能性最大。
2、随机变量及其分布
二项分布
P{
X
k}C
k n
pk
(1
p利试验: 设随机试验E只有两种可能的结果:A及 A ,且
P(A)=p,（0<p<1), 将试验E独立地重复进行n次, 简称n重贝努 利试验(Bernoulli)。 n重贝努利试验中事件A出现的次数服从 二项分布
泊松分布 P{ X k} k e ,(k 0,1,2,..., 0为 常 数)
贝叶斯公式
j 1
例：某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂
提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂 次品率 提供份额
设这三家的产品在仓库中是均匀混合的, 且无区别的标志。现在仓库中随机地抽
甲厂 0.02 0.15 乙厂 0.01 0.80
取一只晶体管, (1)求它是次品的概率； 丙厂 0.03 0.05
例3 有10台机床,每台发生故障的概率为0.08,而10台机床工作 独立,每台故障只需一个维修工人排除.问至少要配备几个维修 工人,才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。
解：随机变量X示发生故障的机床的台数,则 X ~ B(10,0.08)
即P{X n} 0.95
4．均值与方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)
k!
n重贝努利试验中小概率事件出现的次数近似地服从泊松分布.
指数分布
e x ,
f (x)
x 0 ( 0为常数）
0,
x0
❖ 背景:指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，
动物的寿命，电话问题中的通话时间，服务时间等.
正态分布
f (x)
1
( x)2
e
2 2
,
2
记为X ~ N（， 2 )
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
E( X ) xf ( x)dx E(Y ) EgX g( xk ) pk k 1
E(Y ) Eg( X )
g( x) f ( x)dx
4、MATLAB中相关的的概率命令
常见的几种分布的命令字符为： 正态分布：norm 指数分布：exp 泊松分布：poiss 二项分布：bino
背景:如果决定试验结果X的是大量随机因素的总和，假设
各个因素之间近似独立，并且每个因素的单独作用相对均匀 地小，那么X的分布近似正态分布。
如：同龄人的身高、体重、考试分数、某地区年降水量等。
3、数学期望的概念和计算 描述了随机变量的概率取值中心—均值
数学期望
Y gX
E( X ) xk pk k 1