jsin
π
j
0
Re
2
2
jF
F
π , e j π 2 co π ) s j( si π n ) (j
2
2
2
π , e j π c o π ) s js( iπ ) n 1 (
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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8.2 正弦量
1. 正弦量
i
T
波形
瞬时值表达式 0
o
a Re
三角函数式
F |F |e j |F |(c j o si ) s n a j b
F|F|ej|F| 极坐标式
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几种表示法的关系：
Fajb
Im
b
F
|F|
F|F|ej|F|
|F
|
a2 b2
θ arctan b a
或
o
a
a | F | cos
b| F |sin
t0 5 0 1c 0y o 0s
100 i
yπ 3
y π 50
t
3
由于最大值发生在计时起点右侧
o t1
i(t)10c0o1s0 3(tπ) 3
当103t1π3 有最大值t1＝1π033＝1.04m 7 s
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3. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
则:
F1F2F1ej1F2ej2
FFej(12) 12
F1F2 12
模相乘 角相加
F1 |F1 |θ1 | F1 | ejθ1 | F| e 1 j(θ1θ2) F2 |F2 |θ2 | F2 |ejθ2 | F2 |
|F1| |F2|
θ1 θ2
模相除 角相减
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例1 5 4 7 1 0 2 5 ?
研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
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2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 号可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f(t)Akcokswt(k) k1
j ＝ 0， 同相
j = (180o ) ，反相
u
u
i
o
wt
j= /2：u 领先 i /2
o
u i
o
i wt wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例 计算下列两正弦量的相位差。
解 (1) i1(t)1c0o1s0π (t03π4)
结论
i2(t)1c0o1s0π (t0π2) 两个正弦量
第8章 相量法
本章重点
8.1 复数 8.2 正弦量 8.3 相量法的基础 8.4 电路定律的相量形式
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重点： 1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
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8.1 复数
Im
1. 复数的表示形式
b
F
Fajb 代数式
|F|
(j 1 为虚数单位 )
F| F|ej
指数式
Re
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
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若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
F1
Re
F1-F2 -F2
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②乘除运算 —— 采用极坐标式
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
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注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
y =0 一般规定：|y | 。
oy y =－/2
wt
y =/2
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例 已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
解 i(t)10 co 0 1s3t0 (y)
j (2) ii21((tt )) 3 π 1 j 14 s0 c0 5 i( π o 1 n14 π s 0 (2 0(π2 π )0 π t 0 t 5 1 π 33 4 050 π )0 )4 0进 较 同行 时 频相 应 率位 满 、比 足 同
((4 3))i2( uu it1 1i2 ) ((2 (tt( tj ))j t) )1 1 51 3 cc 3 3 c0 0 c c0 0o 00 o o 0 1 o 1 (o 1 s 1 2 (s0 s 1 (s 0 π1 (s 0 0 π π (0 t0 π 0 π t0 t0 (t5 )0 ( t 0 3 )5 0 1 0 3 1 1 0 400 1 )003 )05 0 0 0)5 0 2 )0 ) 不5能0 函 号 值5 0 w比范数 ，1 较围、 且相比同 在w位较符 主2差。
规定： |j | (180°) 等于初相位之差
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j >0， u超前i j 角，或i 滞后 u j 角, (u 比 i 先
到达最大值)；
j <0， i 超前 u j 角，或u 滞后 i j 角, i 比 u 先
到达最大值）。
u, i u i
o
wt
yu yi j
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特殊相位关系
解 原 (3 .式 4 1 j3 .6)5 (9 .0 7 6 j4 .2 3)26 1.247j0.56 91.2 4 82.61
例2 22 3 05 (17 j9()4 j6)?
2 0j5 解 原 式 18.20j12.261.2 9 42.9 77.21 51.3 6
2.6 0 21.0 44 1.8 2 j1 0.2 6 6 .7 2 7.8 1 0 6
i(t)=Imcos(w t+y) 正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )
周期T 和频率f
t
f1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz
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正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素 i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率ω
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
w2πf 2πT 单位： rad/s ，弧度/秒
(3) 初相位y
1.2 8 j1 0.2 2 2 .6 2 3 j6 .3 829 1.8 5 2 j1.3 5 2.2 5 3 56
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③旋转因子
复数 ej =cos +jsin =1∠
F• ej
Im
F• ej
旋转因子
F
0
Re
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特殊旋转因子
Im
jF
F
π,
2
jπ
e2
cos π