i1
角频率 w
iw2
有效值 I1 o
I2
初相位 1
2
i1+i2 i3
i3
w
w It3 3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
所以，只需确定初相位和有效值。因此采用
正弦量
复数
变换的思想
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3. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复函数 F(t) 2I ej(wtΨ)
2 Ico w t s Ψ ) ( j2 Isiw tn Ψ ()
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例 计算下列两正弦量的相位差。
解 (1) i1(t)1c0o1s0π (t03π4)
结论
i2(t)1c0o1s0π (t0π2) 两个正弦量
j (2) ii21((tt )) 3 π 1 j 14 s0 c0 5 i( π o 1 n14 π s 0 (0 2 (π2 π )0 π t 0 t 5 1 π 33 4 050 )π 0 )4 0进 较 同行 时 频相 应 率位 满 、比 足 同
U1 630o V
u2(t)4 2co3s1(t460o)V
U2 460oV
U U 1 U 2 6 3 0 4 6 0
5.1 9j32j3.467.19j6.46
9.6 44.9 1oV
u ( t ) u 1 ( t ) u 2 ( t ) 9 . 62 c 4 3 o t 1 4 s . 9 o ) 4 ( 1 V
2 0j5 解 原 式 18.20j12.261.2 9 4 22.6 .0 9 7 21 7.2 .0 41 451.3 6
1.8 2 j1 0.2 6 6 .7 2 7.8 1 0 6
1.2 8 j1 0.2 2 2 .6 2 3 j6 .3 829 1.8 5j2 1.3 52.2 5 3 56
2
2
2
π , e j π c o π ) s js( iπ ) n 1 (
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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8.2 正弦量
1. 正弦量
i
T
波形
瞬时值表达式 0
i(t)=Imcos(w t+y) 正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )
Im 2I
I T 1Im 2T 2Im 20.70Im 7
w w i( t) I m co t Ψ s) (2 Ico t Ψ s)(
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同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U12U m 或 U m2U
若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 注意 其最大值为 Um311V Um537V
F ( t)2 Ij y e e j w t2 I e j w t
F(t) 包含了三要素：I、 、w， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
i(t)2IcowtsΨ () II Ψ
相量的模表示正弦量的有效值
注意
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
微分运算 didRe2Iejwt Re2Ijwejwt dt dt
w 积分运算 id t R2 e Iejwt d t R e 2jIejwt
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2. 正弦量的三要素 i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率ω
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
w2πf 2πT 单位： rad/s ，弧度/秒
(3) 初相位y
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
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③旋转因子
复数 ej =cos +jsin =1∠
F• ej
Im
F• ej
旋转因子

F
0
Re
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特殊旋转因子
Im
jF
F
π,
2
jπ
π
π
0
Re
e 2 cos jsin j
2
2
jF
F
π j π
π
π
, e2 co ) s j( si n ) (j
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
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2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 号可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f(t)Akcokswt(k) k1
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。
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②乘除运算 —— 采用极坐标式
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1F2F1ej1F2ej2
FFej(12) 12
F1F2 12
模相乘 角相加
F1 |F1 |θ1 | F1 | ejθ1 | F| e 1 j(θ1θ2) F2 |F2 |θ2 | F2 |ejθ2 | F2 |
def
I
1 Ti2(t)dt
T0
定义电压有效值：
def
U
1 Tu2(t)dt
T0
正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+ )
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I T 10 TIm 2co2(swtΨ)dt
0Tco2(swtΨ)dt0T1co2s(2wtΨ)dt
1tT 1T 20 2
周期T 和频率f
t
f1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz
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正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
((4 3))i2( uu it1 1i2 ) ((2 (tt( tj ))j t) )1 1 51 3 c c3 3 c0 0 c c0 00 o0 o o 0 1 o 1 (o 1 s 1 2 (s0 s 1 (s 0 π1 (s 0 0 π π (0 t0 π 0 π t0 t0 ( t5 )0 t( 0 )3 5 0 1 0 3 1 1 0 400 1 )003 )05 0 0 0)5 0 2 )0 ) 不5能0 函 号 值5 0 w比，数 范1 较且、 围相在同 比w位主符 较2差。
试写出电流的瞬时值表达式。
解
i502co3s1 t(4 15 )A
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相量图
在复平面上用向量表示相量的图
i( t) 2 I cω o t Ψ s ) ( I I Ψ
w u ( t ) 2 U co t θ ) s U ( U θ
+j
U

i2(t)3co1s0(π0 t300)
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 直流I R 理 意
义 WR2IT
交流 i R
W0TRi2(t)dt
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均方根值
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。
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②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。
i,Im,I, u,Um,U
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借助相量图计算
U 1 6 3 o V 0U 2 4 6 o V 0
+j
U 2
60
U 1
U
+j
30 41.9
+1
U
U 2
U 1 60
30 41.9
+1
首尾相接
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②正弦量的微分、积分运算
wy y i 2 I co t i s ) ( I I i

I

+1
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4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
w u1(t)2U 1cost (Ψ1)Re2U (1ejwt)
w u2(t)2U 2cost (Ψ2)Re2U (2ejwt)
u(t)u1(t)u2(t)Re( 2U 1ejwt)Re( 2U 2ejwt)
第8章 相量法
本章重点
8.1 复数 8.2 正弦量 8.3 相量法的基础 8.4 电路定律的相量形式
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重点： 1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
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8.1 复数
Im
1. 复数的表示形式
b
F
Fajb 代数式
|F|
(j 1 为虚数单位 )
F| F|ej
或
o
a
a | F | cos

b| F | sin
Re
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
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若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)