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三、“希尔伯特问题”解决的现状 经过一个世纪加十年，希尔伯特的23 个问题中，将近一半已经解决或基本解决。 有些问题虽未解决，但也取得了重要 进展。 能够解决一个或基本解决一个希尔伯 特问题的数学家，就自然地被公认为世界 一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特 问题的特殊地位。
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希尔伯特问题的研究与解决，大大推 动了许多数学分支的发展，这些分支包 括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物 理、概率论、数论、函数论、代数几何、 常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、
趣题——找次品：
有12个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准。请用一架不带砝码的 天平，最多三次使用该天平，找出上述 次品乒乓球，并判断它是重于标准球， 还是轻于标准球。
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思考题
如果只要求找出次品乒乓球，并不要 求判断次品是过重还是过轻，那么三次 使用该天平，最多可以从多少个乒乓球 中找出唯一的次品？
变分法等。第二问题和第十问题的研究，
还促进了现代计算机理论的成长。
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重要的问题，历来是推动科学前进的
杠杆。但一位科学家，如此自觉、如此集
中地提出如此一整批问题，并且如此持久 地影响了一门学科的发展，这在科学史上 是仅有的。
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在20世纪末，人们也想模仿19世纪 末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问 题。但由于20世纪数学的发展，数学的分 支越来越细，已没有一个人能像当年的希 尔伯特那样涉及数学的广泛领域。于是人 们想到了组成一个数学家的小组，来做这 件事，并且已经付诸行动，但最终并没有 做成这件事。这也反衬出希尔伯特的伟 大。
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2． 提出一个“好的问题”是不容易 的
这是因为在解决问题前，要想预先判 断一个问题的价值是困难的，问题的价值 最终取决于科学从该问题得到的收益。因 此，只有对该学科的知识有广泛而深入了 解的学者，对该学科的发展有清醒的认识 和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价 值的“好的问题”
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3． “好的问题”的标准
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在世纪之交提出的这 23 个问题，涉 及现代数学的许多领域。一个世纪以来， 这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴 趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动 作用。 （由于我们这个课的同学绝大多数不
是数学专业的，我们不想在这里一一介绍 这23个问题，而是统一展示一下。）
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希尔伯特的23个问题
1.证明“连续性假设”，即证明任一实数 集或者能与自然数集建立一一对应，或 者能与全体实数集建立一一对应。 2.研究算术公理的相容性。 3.两个等底等高的四面体的体积相等。 4.直线作为两点间最短距离的问题。
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5.李（S.Lie）的连续变换群概念，不要定 义群的函数的可微性假设。 6.物理学的公理化。 7.某些数的无理性和超越性。 8.素数问题。 9.在任意数域中证明最一般的互反定律。 10.丢番图方程的可解性。 11.系数为任意代数数的二次型。
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12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。 13.不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。 14.证明某类完全函数系的有限性。 15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基 础。 16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。
他的数学成就，也包括他优秀的人品。
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1．第一次世界大战时拒绝在“宣言” 上签字 在第一次世界大战爆发时，德国政府
让它的一批最著名的科学家和艺术家出来
发表一个“宣言”，声明他们拥护德国皇 帝威廉二世。“宣言”的第一句是：“说 德国人发动了战争，这不是事实”。
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“宣言”的题目是《告文明世界》， 邀请了一批知名人士签字。当局认为，知 名人士中的数学家，大半只是为他们的同 行所了解而不为外界熟知，因而只邀请了 世界声望最高的希尔伯特和克莱因两人签 名。前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用 不变量观点统一几何学的那位数学家克莱 因，没有什么怀疑就签了名。但希尔伯特 仔细阅读后，却表示他不能判断“宣言” 内容的真实性，从而拒绝签字。
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17.正定形式的平方和表示。 18.用全等多面体构造空间。 19.正则变分问题的解一定是解析的吗？ 20.一般边值问题。 21.具有指定单值群的线性微分方程解的 存在性证明。 22.通过自守函数使解析关系单值化。 23.变分法的进一步发展。
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二、 适当的问题对科学发展的价值 1． 有问题的学科才有生命力 问题，在学科进展中的意义是不可否 认的。一门学科充满问题，它就充满生命 力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的 衰落。正是通过解决问题，人们才能够发 现学科的新方法、新观点和新方向，达到 更为广阔和高级的新境界。
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趣题——填骨牌：
用１０个 １×２ 矩形骨牌挤满 ２×１０ 矩形盒， 有多少种方法？如下图。
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（ 矩形骨牌 ）
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2
（ 矩形盒 ）
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答:(1)
；
(2)
，
；
(3)
，
，
；
……
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用１０个 １×２ 矩形骨牌挤满 ２×１０ 矩形盒， 有多少种方法？如下图。
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第三章第六节 希尔伯特和他的23个问题
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当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美
的。一பைடு நூலகம்评论者认为，其局限性是，希尔
伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这
两者在20世纪也成了数学的前沿和热点，
这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔
伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数
学。
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四．希尔伯特的人品
希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，
而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是
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一、 希尔伯特的23个问题 希尔伯特（德国，1862—1943年） 是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学 家之一。他提出的 23 个问题更是功勋卓 著、影响深远。 那是 1900年 8 月在巴黎召开的国际数 学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题 为《数学问题》的著名讲演，根据19世纪 数学研究的成果和发展趋势提出 23 个问 题，成为数学史上的一个重要里程碑。
尽管有困难，人们仍希望给出“好的
问题”的一般标准。希尔伯特在他的演讲 中就提出了这样的标准。我们把它归纳叙 述如下：
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1）清晰易懂 即，问题本身应很容易解释清楚，让 别人听懂。希尔伯特说：“一个清晰易懂 的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题 使人们望而生畏。” 2）难而又可解决 希尔伯特说：“为了具有吸引力，一 个数学问题应该是困难的，但又不应是完 全不可解决，而使我们劳而无功的。” 3）对学科发展有重大推动意义