u1
a3 e~1 a3 e~1 2
1 2
1 0 1
于是
0 0 1
H~1
I
2u1u1T
0
1
0
1 0 0
令
H1
1 0
0T H~1
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
2 1 0 0
则
H1AH1
1 0
1 3
3 1
4 2
0 4 2 1
对 a2 (3,4)T，取 2 a2 2 5，则
1
0
0 0 0 2
例
试求矩阵
A
0 0
3 4
1 2
的QR分解。
2 1 2
解
将列向量
a1
0
0
，a2
3 4 ，a3
1 2
正交化得
2
1
2
p1
a1
0
0
，
p2
2
a2
2 4
p1
3 4
，p3
0
a3
4 4
p1
5 25
p2
8 5
6 5
0
单位化得
0
q1
1 2
p1
0 ， 1
证 因为
I O A B I O A B B I I B A I I O A B 取行列式即得。
例 设A, B, C, D为同阶方阵，A可逆, 且AC = CA。
证明 证 因为
det A C
B det(AD CB) D
I CA1
O A I C
B A D O
(2 )4
4!
A4
(2 )6
6!
A6
I (1
(2 )2
2!
(2 )4
4!
(2 )6
6!
)
I cos(2 ) I
sin(
2A)
2A
(2 )3
3!
A3
(2 )5
5!
A5
(2 )7
7!
A7
A(2
(2 )3
3!
(2 )5
5!
(2 )7
7!
)
Asin(2 ) O
例 设 H m和Hn分别是m阶和n阶Householder矩阵， 问 Hm O 是否 m n阶Householder矩阵?为什么?
B In
Im O Im A Im
A
B In B In O In BA
Im A Im A Im AB O O In B In B In 所以
det(
I
n
BA)
det
I
m
B
A In
det(Im
AB)
例 设 ACmn，B Cnm，且 0。证明
det(Im AB) mn det(In BA)
(即AB和BA的非零特征值相同)。
证 构造矩阵 Im A ，因为
B In
Im O Im A Im
A
B In B In O In BA
Im O
1
A
In
Im B
A
In
Im
1
B
AB
O
In
所以
det(In
BA)
det
Im B
取
c
3 5
,
s
54，则
1 T23 0
0
3 5
0
4 5
且
T23 AT2T3
1 5
4 5
1
3 5
2
0
4 5
3 5
0
2
1
2 0 0 1
例
化矩阵
A
0 0
1 2
2 1
4 3
正交相似于三对角阵。
1 4 3 1
解 法1. 用Householder变换
对 a3 (0,0,1)T，取1 a3 2 1，则
4
H2 1
H~
2
1 0 0
0
4 5 3 5
0
3 5
则
4 5
2
H
2
(
H1A)
0 0
1 5 0
2 1 2
故
0
A
( H1H 2
)R
0
1
3 5 4 5
0
4 5
3
5
2 0
0 0
1 5 0
2 1 2
例
试求矩阵
A
0 0
3 4
1 2
的QR分解。
2 1 2
解 取 c1 0, s1 1，则
的QR分解。
0 1 0 1
A
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0 1 0
解
取 c1
0 02 12
0,
s1
1，则
0 1 0 0
1 0 1 0
T12
1 0
0 0
0 1
0 0
且
T12
A
0 0
1 1
0 0
1 1
0 2
1 2
,
s2
12，则
1 2
0
T14
0
1 2
0 0 0
0 0 1
使得
H1A
0 0 0
4 3 0
2 1 0
3 4 5
又取 b2 (4,3,0)T，则 2 b2 2 5，且
u2
b2 5e~1 b2 5e~1 2
1 10
1 3 0
于是
H~ 2
I3
2u2u2T
4 5
3 5
3
5
4 5
0 0
0
0
1
令
H2
1 0
0T H~ 2
0 T13 0
0 1
1 0
2
使
T13
A
0
1 4
2 2
1 0 0
0 3 1
又取
c2
4 5
,
s2
53，则
1
T23 0
0
0
4 5 3 5
0
3 5
4
5
2
使
T23T13
A
0
0
1 5 0
2 1
R
2
故
A T1T3T2T3R
0 0
3 5
4 5
4 5
3
5
2 0
1 5
2 1
第四章 矩阵分解
§1 三角分解介绍
例
求矩阵
A
5 2
2 1
4 2
的Doolittle分解和
4 2 5
LDU分解。
解 5 2 4
2 5
1 5
2 5
4 5
2
1
故 1
A
2 5
4 5
0 1 2
0 5 0 0 1 0
2
1 5
0
4
2 5
1
1
2
5
4 5
0 1 2
0 5 0 1
1 5
0
0
i 5
0
0
0 1 0
0 0 1
使
T12 x
0 0 2
又取 c2 35，s2 32，则
5 3
0
0
0 1 0
T14
0
01
2 3
0
0
2 3
0 0
使
T14T12 x
3e1
5 3
例
化矩阵
A
1 3
0 1
1 2
正交相似于Hessenberg阵。
4 2 1
解 法1. 利用Householder变换
1 0 1 0
2 5
1
0
4 5
2
1
例
求正定矩阵
A
5 2
2 3
0 1
的Cholesky分解。
0 1 1
解
5
2 5
11 5
0
5 11
6 11
所以
5
A
2 5
0
11 5
5 11
5
2
5
0
6 11
11 5
5 11
6
11
例 设 A, B 为同阶方阵，证明
det A B det(A B)det(A B) B A
0 3 1 4
A
0 2
4 1
2 2
3 4
0 0 0 5
解 取 a1 (0,0,2,0)T，则 1 a1 2 2，且
2
1
u1
a1 2e1 a1 2e1 2
1 2 2
0 2 0
1 0 2 1
0
0 0 1 0
2 1 2 4
于是
H1
I4
2u1u1T
0 1
0
1 0 0
00 10 01 00
1 2
2 0
0
0
1 2
且
T14
(T12
A)
0 0 0
1 1 0
2 0
0 1
0 0
1 0
再取 c3
1 2
, s3
1 ，则
2
1
T23
0 0
0
0
1 2
1 2
0
0
1
2
1 2
0
0
2
0 0 1
且 T23(T14T12