2
F
B
2 F
n2 max i, j
| bij
|2 ，
i j
n | tii t ii |2
i1
2
n | tij |2 2 i, j1
T TH 2
2
F
C
2 F
n2 max i, j
| cij
|2 ，
i j
所以有
|
Re k
|2
n2
max | i, j
bij
|2
，
|
Imk
|2
n2
max | i, j
i 1
i j
i , j1
i , j 1
所以得到
n
n
| i |2
T
2 F
A2 F
| aii |2 ．
i 1
i , j 1
由式(5-2)知结论中等号成立当且仅当
(5-3)
| tij |2 0 ．
i j
即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角形矩阵， 也就是 A 为正规矩阵(定理 2-8)． 证毕.
5.1 特征值的界的估计
下面给出一些利用矩阵元素直接估计矩阵特征值上下界的方法，
为便于表达，对于 A (aij ) C nn ，记矩阵
B (bij )
A AH 2
， bij
aij
a ji 2
C
(cij )
A AH 2
， cij
aij
a ji 2
则 B 为 Hermite矩阵， C 为反 Hermite矩阵，且 A B C ．
例 已知矩阵
3 i 2 3i 2i
A 1
0 0
0
1
0
的一个特征值为 2，估计其它两个特征值的上界．
解 记 1 2 ，A 的其它两个特征值为 2 ，3 ，由定理 5-1 得
3
3
| 2 |2 | i |2 | 1 |2 | aij |2 | 1 |2 25 ，
i 1
i, j1
本章要讨论的另一个问题是广义逆矩阵方面的问题. 我们知道，若方阵A的行列式不等于零，则存在唯一的 方阵B，满足AB=BA=E，并称B为A的逆矩阵，记为A-1. 当A不是方阵，或方阵A的行列式等于零时，则上述的 逆矩阵就不存在. Moore在1920年将逆矩阵的概念推广到任意矩阵上，他是用正交投影算子来定义逆矩阵的， 人们把他定义的广义逆矩阵称为Moore广义逆. 1955年，Penrose用方程组
i 1
i
2
|2
n | tii
i 1
t ii 2
|2
，
| Im k
|2
n
| Im i
i 1
|2
n
|
i 1
i
i
2
|2
n | tii
i 1
t ii 2
|2 ．
由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以
n | tii t ii |2
i1
2
n | tij |2 2 i, j1
T TH 2
其中T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 tii (i 1,2,n) 为 A 的特征值，
以及 B,C 的定义，可得
于是有
U H BU U H A AH U T T H ，
2
2
U H CU U H A AH U T T H ，
2
2
| Re k
|2
n
| Re i |2
i 1
n | i
故 | 2 | 5 ．同理可得 | 3 | 5 ．
事实上，由| E A | ( 1)( 2)( i) 知 A 的其它两个特
征值为 1， i ．
推论 1 设 A, B,C 如前所设，则有
(1)
|
k
|
n max | i, j
aij
|，
(2)
|
Re k
|
nmax | i, j
bij
|
，
(3)
|
Imk
AGA=A，GAG=G，(AG)H=AG，(GA)H= GA. 来定义A的广义逆. 不久以后，Bjerhammer证明了Moore逆与Penrose逆的等价性，所以后来吧它叫做Moore－ Penrose逆，并记为A+. 此后，对广义逆矩阵的研究又有很大的发展，现已形成了一套系统的理论. 这里主要介 绍15种广义逆矩阵中较常用的A-及A+两种，其它就不一一介绍了.
的谱）为{ 1, 2 ,, n }，则
n
n
| i |2
| aij |2
A2． F
i 1
i, j1
且等号当且仅当 A 为正规矩阵时成立．
证明 由第 3 章定理 3-19(舒尔定理)，存在酉矩阵U 及上三角矩阵T ，
使得
U H AU T ，
从而
U H AAHU TT H ，
tr( AAH ) tr(U H AAHU ) tr(TT H ) ， (5-1)
设 A, B,C 的特征值分别为 k , k ，i k （ i 1, k 1,2,n) ，
k , k 都是实数，且满足 | 1 || 2 | | n | ，
1 2 n ， 1 2 n ．
定理 5-1(舒尔定理) 设 A (aij ) Cnn ， A 的特征值集合（ A
矩阵的特征值的估计与广义逆矩阵是矩阵理论中两个不同的专门课题，两者都有丰富的内容 和许多重要的应用. 在本章，仅就这两方面的内容作一基本概述.
矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是重要的，但要精确计算特征值并非总是可能 的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的．好在许多应用中并不需要精确计算 矩阵的特征值，而只需要有一个粗略的估计就够了. 例如，在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A的 特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特 征值是否都落在单位圆内；在差分方法的稳定性理论以及自控理论中都需要估计矩阵的特征值是否在 复数平面上的某一确定的区域中.
由于T 的对角线元素 tii (i 1,2,, n) 为 A 的特征值，得
n
n
n
| i |2
| tii |2
| tii |2
| tij
|2
T
2．
F
i 1
i 1
i 1
i j
(5-2)
由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，即
n
n
n
| tii |2 | tij |2 | tii |2 | aii |2 ．
cij
|2
，
两边开方即得max | i, j
bij
|
，
证毕.
|
Imk
|
nmax | i, j
|
n max i, j
|
cij
|
．
证明 (1) 由定理 5-1 得
n
n
| k
|2
| i
i 1
|2
| aij
i, j 1
|2
n2 max i, j
| aij
|2 ，
即得
|
k
|
n max | i, j
aij
|．
(2) (3) 由舒尔定理，存在酉矩阵U 使得
U H AU T ， U H AHU T H ，