对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空 间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中 x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z 叫做点A的竖坐标.
三、空间向量运算的坐标表示
设 a(a1,a2,a3)b,(b1,b2,b3)则
ab(a1b1,a2b2,a3b3); ab(a1b1,a2b2,a3b3);
例2
如图，在正方体
A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
求 B E 1 与 D F 1 所成的角的余弦值。
z
D1 A1
D
O
A
x
F1
C1
E1 B1
C B
解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 O xyz ，则
B(1,1,0) , E11,34,1,
y
D(0,0,0) , F10,14，1.
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空
间任一点A,对应一个向量 一的有序实数组 x, y, z,使
O
A
,于是存在唯
za
A(x,y,z)
O Axiyjzk
k i Oj
y
x
在单位正交基底 i , j , k中与向量 O A
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
B E 1 1,3 4,1 (1,1,0) 0,1 4,1 ,
例2
如图，在正方体
A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求 B E 1 与 D F 1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
D F 1 0, 1 4， 1 (0,0,0 ) 0, 1 4， 1 .
a(a1,a2,a3)(R);
a•ba1b1a2b2a3b3;
a /b / a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R )
a b a1b 1a2a1b1a2b2 a3b3
a12 a22 a32 b12 b22 b32
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
A1
E1 B1
B1• ED1 F001 41 4111 16 5
D
O
C
y
|BE1|
147,|DF1|
17. 4
A
x
B
cosB1E ,D1F B1E•D1F B1ED1F
1/5161 171717
44
因此，BE1与DF1所成角的余弦值为
1 1
5 7
练习:在正方体
ABCD—A1B1 C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、 CD 的中点 ， 求证： D1F 平面ADE
Z D1
A1
C1 B1
D
A X
E
F
C Y
B
七 、作业：
课本P107页习题3.1:7,8,9题
AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
x2x 12 y2y 12 z2z12
四、例题
例2 如图,在正方体ABCD-A 1B1C1D1
中,
B1E1=D1F1=
A1B1 4
,求BE1与DF1所
成角的余弦值.
D1
A1
F1
C1
E1 B1
D A
C B