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六、空间向量数量积的坐标运算
1.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
2.空间向量数量积的坐标表示：
设空间两个非零向量a (x1，y1，z1)，b (x2，y2，z2)， 则a b x1x2 y1y2 z1z2
(1)(1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40).
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例 2．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别是 BB1 ， D1B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ，
一、单位正交基底：
如果空间的一个基底的三个基向量 互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做
单位正交基底，常用 {i, j, k} 来表示.
k
i
j
1
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二、空间直角坐标系：
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, k} 以点O为原点，分别以i, j, k的正方向建立三条
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
注意：（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
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练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
Hale Waihona Puke 解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
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例1：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3)，b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1)，b (1, 0 ,1) ;
3.长度的计算 已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
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4.角度的计算
已知空间两非零向量 a (x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R; ) a // b且a、b均各坐标值非0 a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a b 0 x1x2 y1 y2 z1z2 0
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例3 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
D1F1
z
A1B1 ，求
4
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1 , 1 , 0)
,
E1
1
,
3 4
,
1
,
D
O
C
y
D(0 , 0 , 0) ,
F1
0
,
1 4
，1
.
A
x
DF1
0
,
1 4
B
BE1
1
,
3 4
,
1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
,
1
，1
(0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1
.
BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
1
1
15 16
,
,
15
| BE1 |
17 4 , | DF1 |
17 . 4
cos
BE1
,
DF1
|
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 DA1 (1 , 0 , 1)
所以
EF
DA1
(
1 2
,
1 2
,
1) 2
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j2
x
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三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
A(a1, a2 , a3 )
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
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五．坐标运算法则 空间向量类似于平面向量可以用坐标表示,可以用 坐标来进行各种运算及进行有关判断.
设a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则 a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ;
2．已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C(0,0, 2) ,
则顶点 D 的坐标为___(1__,-_1_,_2_)_____;
3． Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) ,
C( x, 0,1) ,则 x ___2_;
4.判定下列各题中的向量是否平行:
BE1 BE1 |
DF1 | DF1
|
16 15 . 17 17 1711
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例4.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE
证明：设正方体棱长为1，以DA，DC,DD1为单位正交
序实数组 (a1, a2 , a3 ) ,使
k
i Oj
y
a a1i a2 j a3k. x
有序数组(a1, a2, a3)叫做a在空间的坐标.
向量a可以用坐标表示为a (a1, a2, a3).3
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四 、若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)