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第二章 利息理论基础


m
m
余 额:1
i (m) 1
m
(1 i (m) ) 2

(1 i (m) ) m1
m
m
图(1-2A) 名义利率图
(1 i (m) ) m 1 i m
名义贴现率
用符号d(m)记每一度量期付m次利息的名 义贴现率。所谓名义贴现率d(m),是指每 1/m个度量期支付利息一次,而在每1/m 个度量期上的实质贴现率为d(m)/m。
(1-16A) (1-16B) (1-16C)
相同度量期内等价的名义利率与名义贴现率有如下 的关系(m,p可以不相同)
1) (1 i(m) )m (1 d ( p) ) p
m
p
2) 若m p,则有
(1 i(m) )m (1 d (m) )m
m
m
例(1)求与实质利率8%等价的每年计息2次的 年名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率;
2. 短期两者差异不大,长期两者显著差异
3. 复利几乎用于所有的金融业务,单利只 用于短期计算或复利不足期近似计算。
a (t)
1
0
1
e ^(it) (1+i)^t (1+it)
t
三、贴现率与现值函数 1、实质贴现率
一个度量期上的实质贴现率为该度量期 内产生的利息金额与期末的积累值之 比。通常用字母d来表示实质贴现率。
I=P×i×t
A(t)=P+I=P(1+it)
注意:i和t的单位必须一致,即若利率取年利率, 时期t必须以年计;若利率取月利率,t必须以 月计。
例:如果每年单利率为8%,投资额为2000 元,求(1)4年后的利息 (2)3个月后的 利息(3)4年后的本利和
解:
(1)I=Pit=2000×8%×4=640(元)
12
12
i 8.36%
3) (1 i (4) )4=(1 d (12) )12
4
12
1 i (4) =(1 6%)3
期末积累值=期初本金×累积因子
贴现因子(discount factor): 积累的反问题:在期初投资多少,才能使在1个 时期结束时本金和利息总额等于1单位的货币量? 如果在期初投资(1+i)-1,期末恰好累积到1, 把 v= (1+i)-1 称为贴现因子 期初本金=期末积累值×贴现因子
贴现函数a-1(t):也叫为t期贴现因子。a-1(1)简称 为贴现因子,并简记为v;
比较:若单利率=复利率=8%
当t=1/4时, 2038.35<2040,即: 复利终值<单利终 值 当t=1时,2160=2160,即:复利终值=单利终值 当t=4时,2720.98>2640,即:复利终值>单利终值
单利计算与复利计算的区别
1. 若单利率=复利率,则当0<t<1时,复 利终值<单利终值;当t=1时,复利终 值=单利终值;当t>1时,复利终值> 单利终值。
a 1 (t )
0
t
第N期利息
I (n)
I (n) A(n) A(n 1)
例2-1
已知本金A(0)=1000元,若按a(t) =3t^2+1 积累,求:
(1)10年的积累值; (2)20年的积累值; (3)第10年获得的利息及利率; (4)第20年获得的利息及利率。
二、单利与复利
1、单利条件下的积累函数
人民币存款利率
2008年12月23日
项目 活期存款 整存整取
3个月 半年 1年 2年 3年 5年
年利率(%) 0.36
1.71 1.98 2.25 2.79 3.33 3.60
利率表中是否表示存3个 月的实质利率为1.71%, 而存一年的实质利率为 2.25%?
注意:上述理解是有问题 的。
名义利率
i (1 i ( m) ) m 1 m
1
i ( m) m[(1 i) m 1]

补充: 名义利率图
时间点: 0 利 息:
1/m
i(m) 1 m
2/m

i (m) (1 i (m) )

m
m
(m-1)/m
i (m) (1 i (m) ) m2
m
m
m/m=1
i (m) (1 i (m) ) m1
解:可得i=5%,贴现因子v=(1+i)-1=0.9524
d=iv=0.04762
从而借款人期初实际可得
10000(1-d)=9524(元)
2、现值与终值
终值是现在的货币值在未来时期的价值。 现值是未来的货币值在现在时期的价值。 积累因子(accumulation factor)
如果实质利率为i,则在期初投资的1个单位的本金在 期末将累积到1+i。把1+i称为积累因子,即
假定一个单位的投资在每个单位时间所赚的利息 是相等的,而利息不用于再投资。
一个投资者开了一个储蓄帐户并存入1元,该帐 户按每年单利率i支付利息,那么一年后投资者帐 户有1+i元,两年后他的帐户值是1+2i元,……
一般表现形式
假设:I-利息;P-期初本金;i-利率; A(t) -经过时间t后的积累值
问题:连续存4个三个月的定期和存一个一年定期, 哪一个更划算?
解:设期初的本金是10000元,连续存4个三个月 的定期可得利息
10000×(1+1.71%/4)4—10000=172.10
存一个一年定期可得利息 10000×2.25%=225
例:2年期的定期 i(1/2)=2.79% 2年期的实际利率为多少 ? 2i(1/2)=5.58% 3年期的定期 i(1/3)=3.33% 3年期的实际利率 3i(1/3)=9.99% 5年期的定期 i(1/5)=3.60% 5年期的实际利率 5i(1/5)=18%
1)
(1
i)t (1 i)t1 (1 i)t
i =d 1 i
大小不发生变化
例: 实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行,第1年末存款余额 为1020元,第2年存款余额为1050元,求 i1、i2、d1、d2 分别等于多少?
例:答案
Q A(0) 1000, A(1) 1020, A(3) 1050
现值 present value
积累与贴现是一对相反的过程,相对于期初1个单位本金在t时 期期末积累值是a(t),相对于t时期期末1单位金额的期初值则 为a-1(t)。
贴现率与贴现因子的关系是:
v 1 1 i 1d 1i 1i
四、一般复利与一般复贴现
利息可以按年支付,也可以在一年多次支 付,我们将一年多次支付利息的形式称为 一般复利。
1) (1 i (2) )2 1 i 1 8% 2
1
解:i (2)=[1.082 1] 2 7.85% (1 d (4) )4 1 i 1.08 4
d (4)
1
4[1 (1.08) 4 ]
7.623%
2) 1 i (1 d (12) )12 (1 8% )12 1.0836
如d是对每个度量期初支付的利息的度量 一样,名义贴现率d(m)是一种对1/m个度 量期初支付的利息的度量。
图(1-2B) 名义贴现率图
时间点: 0
1/m
… (m-2)/m
(m-1)/m m/m=1
贴现: d (m) (1 d (m) ) m1
m
m
d (m) (1 d (m) ) m2

d (m)
续复利) 时期长度
一、利息与积累函数
积累函数: a(t) 是单位资本金经过时间后的积累额。
a(t)
总累积额函数
A(t)
贴现函数
1------------------------------ a(t)
K------------------------------ A(t) a 1 (t )-----------------------------1
例:Find the accumulated value of $500 invested for 5 years at 8% per annum convertible quarterly.
实际应用中通常需要计算与名义利率i(m)等价的 (年)实质利率i的大小。 名义利率与实际利率有如下关系
1 i (1 i ( m) ) m m
I1 A(1) A(0) 20
I 2 A(3) A(2) 30
i1
I1 A(0)
20 1000
2%
d1
I1 A(1)
20 1.96% 1020
i2
I2 A(1)
30 1020
2.94%
d2
I2 A(2)
30 1050
2.86%
例:假设期初借款人从贷款人那里借10000元, 商定一年到期时还10500元,如果借款人希望 期初时即付给贷款人利息,1年到期时偿还本 金10000元,问:期初借款人实际可得金额多 少?
定义:每个度量期(通常为一年)支付m次利息 的名义利率用i(m)表示(m一般大于1,也可小于 1或不为整数),即每1/m个度量期支付利息一 次,每1/m个度量期的实质利率为 i(m)/m。
例:i(4)=8%(季换算名义利率8%)表示每个 季度支付利息一次,且每个季度的实质利率为2 %。
如3个月的定期存款利率(挂牌利率)为i(4)= 1.71%,则10000元存满三个月可得利息42.75 元。
第二章
利息理论基础
第一节
利息分析
第一节汉英名词对照
积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力
Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
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