高等数学（下）期末试题参考答案一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。

1、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的（ ）。

A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。

3、设)ln(222z y x u ++=，则)(u grad div ＝（ ）。

A.2221z y x ++；B.2222z y x ++；C.2222)(1z y x ++；D.2222)(2z y x ++ 3、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33＝（ ）A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23； B.⎰⎰132D yd x σ； C.⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ； D.04、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dSy x ey x )sin(2222＝（ ）。

A .0； B.2sin Re R R π； C.R π4； D.2sin Re 2R R π 5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1，x e y =2，x e y 23=，则其通解为（ ）。

A.x x e C e C x 221++；B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C x x x -+-二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、-5；2、)2,2,1(±±μ；3、)1(611--e ；4、81；5、C y y x =-1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数a ＝_____。

2、若曲面2132222=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ，则切点坐标为______________________。

3、二重积分dx e y dy y x ⎰⎰-1103的值为______________。

4、设空间立体Ω所占闭区域为0,0,1≥≥≤++y x z y x ，Ω上任一点的体密度是z y x z y x ++=),,(ρ，则此空间立体的质量为____________。

5、微分方程2yx yy +='的通解为_____________________。

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ，求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值。

2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y x z ∂∂∂2。

3、将函数223)(xx x f --=展开成x 的幂级数，并指出收敛域。

4、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切，求函数)(x y 。

5、计算⎰++Lz y x ds222，其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π20≤≤t 的弧段。

四、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、设0>a ，计算极限)321(lim 32n n ana a a +++++∞→Λ的值。

2、计算⎰⎰⎰Ωdv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定。

3、计算⎰⎰∑++++2222)(z y x dxdya z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧，a 为大于零的常数。

4、将函数)11()(≤≤-=x x x f 展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足3)1(=f ，计算曲线积分dy y x f x dx x x f y L ))(())((22+++⎰的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。

五、本题５分。

对0>p ，讨论级数∑-∞=+11)1(n n npn 的敛散性。

一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。

1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ 二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、-5；2、)2,2,1(±±μ；3、)1(611--e ；4、81；5、C y y x =-三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ，求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值。

解：由条件得z zfx y f y x f 2,2,2-=∂∂=∂∂=∂∂ }cos ,cos ,{cos }32,32,31{}2,2,1{0γβα=-=⇒-=AB AB32cos ,32cos ,31cos -===⇒γβα从而)1,1,2(cos cos cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∂∂A z f y f x f l f γβα=310 点A 的梯度方向是}2,4,2{}2,2,2{--=-==A Az x y f grad所以方向导数的最大值是6224242222==++=∂∂lf2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y x z∂∂∂2。

解：2121,xf f yzyf f xz+-=∂∂+=∂∂ []2221211222211211221212)()()(f xyf f y x f f xf f y xf f f yf y y f yf f y x z y y x z ++-+-=++-++-=+∂∂+∂∂=+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂3、将函数223)(xx x f --=展开成x 的幂级数，并指出收敛域。

解：nn n n n n n n n x x x x x x x x x x f ∑∑∑∞=+∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=++-=++-=--=010022)1(12)1(212/112111211123)( 收敛域为)1,1(-。

4、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切，求函数)(x y 。

解：由条件知)(x y y =满足1)0(,1)0(-='=y y由特征方程2,1023212==⇒=+-r r r r ,对应齐次方程的通解x x e C e C Y 221+= 设特解为x Axe y =*，其中A 为待定常数，代入方程，得x xe y A 22*-=⇒-= 从而得通解x x x xe e C e C y 2221-+=,代入初始条件得0,121==C C 最后得x e x x y )21()(-= 5、计算⎰++Lzy x ds222，其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π20≤≤t 的弧段。

解：dt dt z y x ds t t t 65222='+'+'= 8658arctan 865865202022222=⋅=+=++⎰⎰ππtt dt z y x ds L四、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、设0>a ，计算极限)321(lim 32n n ana a a +++++∞→Λ的值。

解：设)11()(1<<-=∑∞=x nx x s n n ，则原问题转化为求和函数在ax 1=处的值 而2111111)1(1)()()()(x x x x x x x x x x x x x n x x s n n n n n n n n -='⎪⎭⎫⎝⎛-='='='==∑∑∑∑∞=-∞=∞=-∞= 故所求值为2)1(1-=⎪⎭⎫⎝⎛a a a s2、计算⎰⎰⎰Ωdv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定。

解：πϕϕπϕϕϕπϕϕϕθππππ8154122sin 2cos sin 2sin cos 214404213212420=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωr d drr d dr rr d d dv z3、计算⎰⎰∑++++2222)(z y x dxdya z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧，a 为大于零的常数。

解：取xoy ∑为xoy 面上的圆盘222a y x ≤+，方向取上侧，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎰⎰⎰=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰-+⎰⎰⎰=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰++-⎰⎰++=⎰⎰++=⎰⎰++++Ω∑∑+∑∑∑2230222022222222323sin cos 21)32(1)()(1)(1)(a a a a d r r d d a dxdy a dv a z a dxdy a z axdydz dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a z y x dxdya z axdydz a D xy xoy xoy ππϕϕϕϕθπππ34440322121sin cos 41a a a a a dr r d a a ππππϕϕϕπππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎰⎰=4、将函数)11()(≤≤-=x x x f 展开成以2为周期的傅立叶级数。

解：所给函数在]1,1[-上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在]1,1[-内收敛于函数本身。

12100==⎰xdx a ，2211)1(2cos 2n xdx n x a n n --==⎰ππ，),2,1(0Λ==n b n )11(cos 1)1(221)(122≤≤---+=∑∞=x x n n x f n n ππ5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足3)1(=f ，计算曲线积分dy y x f x dx x x f y L ))(())((22+++⎰的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。